Ongewone wielen
Wielen met 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 of 105 vakken. Eén regel bepaalt de prijs van bijna allemaal: het aandeel vakken dat de uitbetalingen negeren.
Als de uitbetalingen zo zijn vastgesteld alsof de huisvakken er niet zijn, is het huisvoordeelwiskundeHuisvoordeelHet deel van elke inzet dat het casino gemiddeld houdt: 2,70% bij Europese roulette.Volledig lezen → het aantal huisvakken gedeeld door het totale aantal vakken, hoe groot het wiel ook is. De meeste ongewone wielen volgen die regel. De interessante breken hem: een afgeronde uitbetaling, een bonusronde of een inzet die meerdere spins blijft staan.
Eén regel voor elk wiel
Europese roulettevariantEuropese rouletteWiel met één zero, 37 vakken, huisvoordeel 2,70%. Het standaardmodel op deze site.Volledig lezen → betaalt 35 tegen 1 uit alsof het wiel 36 vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → had. Het heeft er 37, en het ontbrekende vak is het voordeel van 2,70%. Dezelfde regel werkt op elk wiel: met N nummers en Z huisvakken heeft een inzet op n nummers die (N − n)/n tegen 1 uitbetaalt een voordeel van Z/(N + Z). Wielen van elke grootte zijn volgens deze regel gebouwd of voorgesteld, en de tabel zet ze op volgorde van prijs.
Groter kan goedkoper zijn
Spelers zien een wiel met 62 vakken als een kleinere kans en nemen aan dat het spel slechter is. Het voordeel hangt alleen af van het aandeel huisvakken. Super 62 heeft twee zero’swielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen →, net als het Amerikaanse wiel, maar dat zijn 2 van de 62 vakken in plaats van 2 van de 38, dus het kost 3,23% tegenover 5,26%. Roulette 73, met 72 nummers en één zero, zou 1,37% kosten, ongeveer evenveel als de Franse enkelvoudige kansen. Op een klein wiel werkt de regel de andere kant op. Bollman toont een antiek wiel met 18 vakken, 1 tot en met 16 plus 0 en 00. Volgens de regel zou elke inzet 2/18 kosten, 11,11%: twee huisvakken zijn een groot deel van een klein wiel.
Waar de regel breekt: afronding
Een uitbetalinggeldUitbetalingWat een winnende inzet oplevert, genoteerd als “X tegen 1” boven op de teruggegeven inzet.Volledig lezen → moet een redelijk bedrag in fichesgeldFicheEen speelpenning die een vast bedrag vertegenwoordigt en die je op het tableau legt om een inzet te plaatsen. Ook: cheque.Volledig lezen → zijn, en als de regel een breuk oplevert, rondt het casino naar beneden af. De Avenue-inzet van 100 To 1 Roulette dekt 15 vakken en zou 5⅔ tegen 1 moeten uitbetalen; hij betaalt 11 tegen 2 uit, wat het voordeel verhoogt van 4,76% naar 7,14%. Op Super 62 bevatten zeven nummers het cijfer 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60) en de inzet op dat cijfer betaalt 7 tegen 1 uit, wat hem 9,68% maakt, drie keer de rest van het tableaumateriaalTableauHet gedrukte inzetveld op de tafel. Ook: tafel, vilt, laken.Volledig lezen →. De witte inzet van Riverboat Roulette dekt 8 nummers en betaalt 7 tegen 2 uit; aan een tafel zonder fiches van 50 cent krijgt een winnende $5 $17 uitbetaald in plaats van $17,50, wat het voordeel verhoogt van 5,26% naar 7,37%. De Amerikaanse inzet op vijf nummers, met 7,89%, is het bekende voorbeeld van hetzelfde.
Waar de regel breekt: bonussen
Fast Action Roulette, in 2020 gelanceerd in Marina Bay Sands, gebruikt een echt wiel met vier zero’s, dat op zich 10% zou kosten. Op elke spin lichten willekeurig tien Bonus-nummers op. Een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → betaalt 35 tegen 1 uit, 40 tegen 1 als het nummer een Bonus-nummer is, en 80 tegen 1 als de hele rij van vier Bonus is, wat hem op 6,65% brengt. De andere drie inzetten van het spel kosten veel meer. Double Bonus Spin van IGT voegt een geel Bonus-vak van anderhalf vak breed toe aan een Amerikaans wiel; als het balletjemateriaalBalletjeHet kleine balletje dat langs de baan wordt gelanceerd, tegen de rotor in. Moderne balletjes zijn van ivorine of teflon, 18–21 mm.Volledig lezen → daar valt, krijgt elke inzet twee gratis spins. Volgens onze berekening verlaagt dat het voordeel tot tussen 1,94% (een straight up) en 2,73% (enkelvoudige kans), onder het gewone Amerikaanse wiel. Bollman (2021) geeft 3% tot 16% voor dit spel; zijn vereenvoudigde formule bevat een algebrafout, en voor enkelvoudige kanseninzetEnkelvoudige kansRood/zwart, oneven/even, hoog/laag. 18 nummers, betaalt 1:1 uit.Volledig lezen → volgt eruit dat de gratis spins meer verliezen dan de inzet, wat niet kan.
Waar de regel breekt: inzetten die blijven staan
Riverboat Roulette (2012) gaf 32 nummers van een Amerikaans wiel een tweede kleur. Wit markeert de vier vakken rond elke zero (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Een inzet op een kleurgroep wint als een van zijn nummers valt vóór een van de acht witte nummers. Een wit nummer is een “White Out”, die elke kleurinzet wegveegt. Elk ander nummer is gelijkspel: de inzet blijft staan, en tussen de spins door kan hij worden teruggenomen of verhoogd. Groenblauw dekt drie nummers en betaalt 2 tegen 1 uit. Per afgehandelde inzet verliest hij 2/11 van de inzet, 18,18%. Per spin verliest hij 2/38, de bekende 5,26%, omdat de gemiddelde inzet 38/11 spins blijft staan, ongeveer 3,5.
Een wiel dat Thorp kon voorspellen: Big Six
De Big Six, of het rad van fortuin, is een groot rechtopstaand wiel met 54 vakken: 24 betalen 1 tegen 1 uit, 15 betalen 2 tegen 1, zeven 5 tegen 1, vier 10 tegen 1, twee 20 tegen 1, en twee logovakken betalen 40 tegen 1. Er is geen zero; het huis neemt zijn deel door te weinig uit te betalen, en het huisvoordeel loopt van 11,1% op de vakken die 1 tegen 1 uitbetalen tot 24,1% op de logo’s. In 1961 bouwde Thorp er een voorspeller ter grootte van een luciferdoosje voor, bediend met een teenschakelaar, en in 1981, toen hij met een polshorloge één omwenteling van een casinowiel timede, merkte hij dat hij het stoppunt meestal tot op vijf vakken nauwkeurig kon aanwijzen. Alleen inzetten op de hoog uitbetalende vakken bij de voorspelling zou ongeveer +211% hebben opgeleverd, als er na het aandraaien van het wiel nog inzetten werden aangenomen. Dat gebeurt niet, en het wiel draait langzaam en in het volle zicht, dus een late inzet zou opvallen; Thorp schreef dat er bij het spel te weinig te doen was om er een te verbergen.
Waarom zo weinig ervan aanslaan
Een professioneel wiel kost duizenden dollars, en een wiel met een ongewoon aantal vakken moet op bestelling worden gemaakt. De meeste nieuwe roulettespellen houden daarom het standaardwiel en voegen inzetten toe, en daarom is de pagina over bijinzetten langer dan deze. Het adelaarwiel met 31 vakken uit het Amerika van de 19e eeuw, met 12,90% op een enkel nummer en 9,68% op al het andere, ging aan zijn eigen prijs ten onder. Het idee van een derde huisvak kwam in 2016 terug op een wiel met 39 vakken, waar het 7,69% kost.
Vragen
Niet op zich. Het voordeel is het aandeel huisvakken: 1 op 73 is goedkoper dan 1 op 37.
Roulette 73, met 1,37%, maar dat is een gepubliceerd ontwerp en geen tafel die je waarschijnlijk tegenkomt. Van de wielen die aan spelers zijn aangeboden, komt Super 62 met 3,23% als volgende na Europese en Franse roulette.
Een bonus moet betaald worden, meestal door een lagere basisuitbetaling of door een aparte inzet met een hoog voordeel.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Royal Roulette, ontwikkeld in Australië, heeft 50 vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen →: de 48 kaarten van 2 tot en met heer, plus één aas en één joker. Eén kaart betaalt 47 tegen 1 uit, twee kaarten 23 tegen 1, drie 15 tegen 1, vier 11 tegen 1, zes 7 tegen 1, acht 5 tegen 1, twaalf 3 tegen 1, zestien 2 tegen 1 en vierentwintig 1 tegen 1. Welke regel geeft deze uitbetalingengeldUitbetalingWat een winnende inzet oplevert, genoteerd als “X tegen 1” boven op de teruggegeven inzet.Volledig lezen →, en wat kost elke inzet?
Oplossing tonen
Antwoord Elke inzet op n kaarten betaalt (48 − n)/n tegen 1 uit, dus elke inzet kost 2/50 = 4%.
Probeer de regel op een paar inzetten: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Hij klopt voor alle negen. De regel prijst het wiel alsof het 48 vakken had, dus de aas en de joker zijn de twee huisvakken, precies zoals 0 en 00 op een Amerikaans wiel.
Twee huisvakken van de 50 geven een voordeel van 4%. Een “Europese” versie haalt de joker weg en houdt de uitbetalingen: één huisvak op 49, een voordeel van 2,04%.
Super 62 heeft een inzet dat een gekozen cijfer in het winnende nummer voorkomt. Ontwerp dezelfde inzet voor een gewoon Amerikaans wiel. Hoeveel van de nummers 1 tot en met 36 bevatten elk cijfer, en welke uitbetalingen zouden de gebruikelijke 5,26% behouden?
Oplossing tonen
Antwoord Alleen cijfers met 3 of 4 nummers krijgen nette uitbetalingen (11 tegen 1 en 8 tegen 1). De cijfers 1, 2 en 3 kunnen niet eerlijk in hele fichesgeldFicheEen speelpenning die een vast bedrag vertegenwoordigt en die je op het tableau legt om een inzet te plaatsen. Ook: cheque.Volledig lezen → worden uitbetaald.
Tel de nummers. Het cijfer 1 komt voor in 1, 10 tot en met 19, 21 en 31: 13 nummers. Het cijfer 2 zit ook in 13 nummers en het cijfer 3 in 10. De cijfers 4, 5 en 6 zitten elk in vier nummers (4, 14, 24, 34), en 7, 8 en 9 elk in drie.
Een inzet op n nummers houdt het Amerikaanse voordeel als hij (36 − n)/n tegen 1 uitbetaalt. Dat geeft 8 tegen 1 voor vier nummers en 11 tegen 1 voor drie, allebei heel. Voor 13 nummers geeft het 23/13, ongeveer 1,77 tegen 1, en voor 10 nummers 2,6 tegen 1. Rond 1,77 naar beneden af op 7 tegen 4 en de inzet kost 5,92%; rond naar boven af op 2 tegen 1 en de speler heeft een voordeel van 2,63%. 2,6 naar beneden afronden op 5 tegen 2 geeft 7,89%.
Het cijfer 0 is een keuze: 10, 20 en 30 alleen betalen 11 tegen 1 uit tegen 5,26%; voeg 0 en 00 toe en het is een inzet op vijf nummers, 6 tegen 1 tegen 7,89%, zoals de basketinzetEerste vierOp een wiel met één zero: 0, 1, 2, 3 met één fiche, betaalt 8:1 uit. Ook: basket, quatre premiers.Volledig lezen →.
cijfernummersregel zegtkan uitbetalenhuisvoordeel1, 2131,77 tegen 17 tegen 45,92%3102,6 tegen 15 tegen 27,89%4, 5, 648 tegen 18 tegen 15,26%7, 8, 9311 tegen 111 tegen 15,26%100 To 1 Roulette betaalt bij de meeste inzetten (100 − n)/n tegen 1 uit, op een wiel met 100 nummers en 5 huissymbolen. De inzetten dekken 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 of 50 vakken en betalen 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 tegen 2, 4 en 1 tegen 1 uit. De straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → en de Avenue van 15 vakken wijken af van de regel. Welke andere inzet doet dat, en wat kost hij?
Oplossing tonen
Antwoord De inzet op drie vakken: de regel zegt 32⅓ tegen 1, hij betaalt 32 tegen 1 uit en kost 5,71% in plaats van 4,76%.
Leg elke uitbetaling naast de regel: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 en 50/50 = 1 kloppen allemaal. Voor drie vakken geeft de regel 97/3 = 32⅓, wat geen fiche kan uitbetalen, dus wordt het naar beneden afgerond op 32.
De inzet wint 3 keer per 105 spins en geeft dan 33 eenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → terug, de inzet inbegrepen: 3 × 33 = 99 eenheden terug voor elke 105 ingezette, een verlies van 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, een gepubliceerd ontwerp, heeft 72 nummers en één zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen →, en elke inzet betaalt (72 − n)/n tegen 1 uit. De 24 grijze nummers kun je dekken met 14 fiches: 4 straight ups en 10 splitsinzetSplitTwee aangrenzende nummers, betaalt 17:1 uit.Volledig lezen →. Wat kost die inzet van 14 fiches?
Oplossing tonen
Antwoord 1,37% van de 14 fiches, zoals elke andere inzet op dat wiel.
De lange weg: een straight up betaalt 71 tegen 1 uit en een split 35 tegen 1. Valt een van de 4 straight-upnummers, dan win je 71 en verlies je de andere 13 fiches: +58. Valt een van de 20 splitnummers: +35 − 13 = +22. Op de andere 49 vakken verlies je alle 14. Gemiddeld over 73 spins: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 eenheden, en dat is 1/73 van elke fiche.
De korte weg: verwachtingswaardenwiskundeVerwachtingswaardeHet gemiddelde resultaat per inzet op de lange termijn. −1/37 van de inzet voor elke standaardinzet bij Europese roulette.Volledig lezen → tel je op. Elke fiche is een gewone inzet die 1/73 van zichzelf verliest, dus 14 fiches verliezen 14/73. Inzetten combineren verandert hoe de uitkomsten verdeeld zijn, nooit wat ze kosten.
Super 62 heeft 60 nummers, 0 en 00, en betaalt (60 − n)/n tegen 1 uit. De ontwerpers tekenden het ook met één, drie en vier huisvakken. Alphabetic Roulette betaalt (24 − n)/n tegen 1 uit op 25 vakken, en heeft een variant met Y en Z elk in een eigen vak. Prijs alle vijf.
Oplossing tonen
Antwoord Met één tot vier zero’s: 1,64%, 3,23%, 4,76% en 6,25%. Alphabetic met Y en Z apart: 7,69%.
Elk van deze wielen houdt zijn uitbetalingen en verandert alleen het aantal huisvakken, dus het voordeel is huisvakken ÷ alle vakken.
Eén zero, 61 vakken: 1/61 = 1,64%. Twee, 62 vakken: 2/62 = 3,23%. Drie, 63 vakken: 3/63 = 4,76%. Vier, 64 vakken: 4/64 = 6,25%. Elke extra zero kost ongeveer anderhalf procentpunt.
Alphabetic betaalt uit alsof het 24 letters had. Met Y en Z in één vak heeft het huis 1 op 25, 4%. Met Y en Z apart heeft het 2 op 26, 7,69%, evenveel als een wiel met drievoudige zero. Eén vak in tweeën splitsen verdubbelde de prijs bijna.
wielvakkenhuisvakkenhuisvoordeel60 nummers, één zero6111,64%Super 626223,23%60 nummers, drie zero’s6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y en Z apart2627,69%Een antiek wiel heeft 18 vakken: 1 tot en met 16, 0 en 00. Oneven nummers en 0 zijn roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen →, even nummers en 00 zwartinzetZwartEnkelvoudige kans op de 18 zwarte nummers. Frans: noir.Volledig lezen →, en de 16 nummers staan op een tableaumateriaalTableauHet gedrukte inzetveld op de tafel. Ook: tafel, vilt, laken.Volledig lezen → van 4 bij 4. Ontwerp een uitbetalingstabelgeldUitbetalingstabelDe lijst van wat elke inzet of uitkomst uitbetaalt. Bij automaten en bijinzetten wordt daar het huisvoordeel vastgelegd.Volledig lezen → die elke inzet hetzelfde voordeel geeft. En waarom moet 0 een inzet op rood laten verliezen, hoewel hij rood is?
Oplossing tonen
Antwoord Betaal (16 − n)/n tegen 1 uit: 15 tegen 1 op één nummer, 7 op twee, 3 op vier, 1 op acht. Elke inzet kost 11,11%. Als 0 de inzet op rood liet winnen, zou rood een eerlijke inzet zijn.
Prijs het wiel alsof 0 en 00 er niet waren. Een inzet op n nummers wint n keer op 18 en betaalt (16 − n)/n tegen 1 uit, dus hij geeft 16 eenheden terug, de inzet inbegrepen, voor elke 18 ingezet. Elke inzet kost 2/18, 11,11%.
De natuurlijke inzetten van het tableau komen op hele getallen uit: één nummer 15 tegen 1, twee naast elkaar 7 tegen 1, een rij of een kolominzetKolomTwaalf nummers in één verticale kolom van het tableau, betaalt 2:1 uit.Volledig lezen → van vier 3 tegen 1, en twee rijen, of de acht oneven, even, lage of hoge nummers, 1 tegen 1. Een inzet op drie nummers zou 4⅓ tegen 1 nodig hebben; naar beneden afgerond op 4 tegen 1 kost hij 16,67%.
Rood dekt de acht oneven nummers. Als 0, die rood is, ook de inzet op rood liet winnen, zou rood 9 van de 18 vakken dekken tegen 1 tegen 1: een eerlijk spelwiskundeEerlijk spelEen spel waarin geen van beide partijen een voordeel heeft: elke inzet heeft een verwachtingswaarde van nul.Volledig lezen → zonder enig voordeel. De huisvakken verdienen hun voordeel alleen door elke inzet te laten verliezen behalve een inzet op henzelf.
Komische noot
Tel de huisvakken en zoek dan naar de afronding.
Bronnen
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”