Vertraging
Het ene deel van de spin dat echt voorspelbaar is.
De vertraging van het balletje op de baan volgt een gladde curve die door wrijving en weerstand wordt bepaald. Uit een paar rondetijden kun je de valtijd schatten tot op een fractie van een seconde. De spreiding daarna maakt het grootste deel van die precisie ongedaan.
Het model
Beschouw het balletjemateriaalBalletjeHet kleine balletje dat langs de baan wordt gelanceerd, tegen de rotor in. Moderne balletjes zijn van ivorine of teflon, 18–21 mm.Volledig lezen → als vertragend onder een constante term a (rollende wrijving) en een term evenredig met de snelheid b·v (luchtweerstand en snelheidsafhankelijke verliezen): dv/dt = −(a + bv). De oplossing is een exponentiële benadering van de kritieke valsnelheid. De rondetijd T = 2πr/v groeit daarom elke ronde met een toenemend bedrag. Fit a en b uit de eerste paar rondes, en de resterende rondes, en de valtijd, volgen. Niets hiervan is exotisch; het is mechanica uit het eerste jaar, toegepast op een balletje op een baan.
Wat de schatting oplevert
Een valtijd tot op 0,2 seconde, gecombineerd met een rotormateriaalRotorHet draaiende deel van het wiel dat de vakken draagt.Volledig lezen →snelheid van 15 vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → per seconde, lokaliseert het vak onder het valpunt tot op ongeveer drie vakken. Dat is het goede nieuws voor een voorspeller. Het slechte nieuws is dat het balletje daarna de hellingmateriaalHellingHet schuine vlak (Engels: apron) tussen de balbaan en de vakken, waar de deflectoren zitten.Volledig lezen → oversteekt, een deflectormateriaalDeflectorEen van de metalen obstakels op de helling die het vallende balletje verstrooien. Ook: canoe, ruitje, pin.Volledig lezen → raakt en over de tussenschottenmateriaalTussenschotDe metalen scheiding tussen twee vakken op het wiel.Volledig lezen → stuitert, en dat het eindvak is uitgesmeerd over een verdeling van 20 tot 30 vakken breed. De precisie van de baanfase wordt grotendeels opgebruikt door de spreiding van de valfase.
Wat er overblijft
Als de spreidingsverdeling een modus heeft, zodat het balletje vaker dicht bij het valvak landt dan bij toeval, dan geeft inzetten op een sectorwielSectorEen aaneengesloten boog van vakken op het wiel, te onderscheiden van een groep op het tableau.Volledig lezen → rond het voorspelde vak een klein voordeel. Small en Tse (2012) maten dit in het laboratorium met een camera en vonden treffersfrequenties van de voorspelde sector die hoog genoeg waren om het huisvoordeelwiskundeHuisvoordeelHet deel van elke inzet dat het casino gemiddeld houdt: 2,70% bij Europese roulette.Volledig lezen → met enkele procenten positief te maken. Hun omstandigheden, een volledig overzicht van bovenaf, een bekend wiel, inzetten geplaatst nadat het balletje is gelanceerd, bestaan niet aan een livetafel.
Wat van uur tot uur verandert
De twee constanten liggen voor een wiel niet vast. De Eudaemons, die in de jaren 1970 jarenlang een casinowiel timeden, ontdekten dat de lucht voor het grootste deel van de vertraging zorgt, meer dan de balbaan, en dat het balletje ertoe doet: een balletje van teflon verloor twee keer zo snel snelheid als een van biljartbalcomposiet. Ze zagen hun voorspellingen ook 5 tot 10% per uur verschuiven als er een deur openging of het weer omsloeg, omdat vochtige of zware lucht het balletje eerder afremt. Hun programma hield daarom aparte instellingen bij voor de mate waarin het balletje vertraagt en voor de snelheid waarmee het de balbaan verlaat, en de speler stelde beide aan elke tafel opnieuw in, en nog eens zodra de voorspellingen begonnen te verlopen.
Waarom het Lab dit uitlegt
Niet zodat iemand het kan doen. Om te laten zien waaruit het toeval van het spel feitelijk bestaat: een deterministische fase die casino’s verdedigen met vroege sluiting van de inzetten en een minimum aantal omwentelingen, en een chaotische fase die ze verdedigen met deflectoren en lage tussenschotten. Een speler die dit begrijpt, begrijpt waarom de 2,70% veilig is.
Zelf de rekensom maken
Time het balletje langs een deflector op een willekeurige stream gedurende drie rondes en extrapoleer; je zit meestal binnen een ronde van de val, en dat is de deterministische fase die werkt zoals beschreven. Kijk daarna waar het balletje daadwerkelijk landt ten opzichte van het vak onder het valpunt, en houd vijftig spins lang een tally bij. De tally is een spreidingsverdeling, en de breedte ervan is het antwoord op “waarom kan dit niet verslagen worden?”.
Formule
Vragen
Nee. Wrijving varieert met stof, luchtvochtigheid en slijtage. Voorspellers fitten elke spin opnieuw.
Drie geven een ruwe schatting; vijf of zes een goede. Het minimum van vier van studio’s laat weinig tijd om in te zetten, en de inzetten zijn sowieso gesloten.
Enkelen, kort, met apparaten, voordat casino’s zich aanpasten en wetten volgden. Zie Advantage play.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
In Thorps illustratieve model van een vertragend balletjemateriaalBalletjeHet kleine balletje dat langs de baan wordt gelanceerd, tegen de rotor in. Moderne balletjes zijn van ivorine of teflon, 18–21 mm.Volledig lezen → heeft het balletje, als één omwenteling op de baan T seconden duurt, nog 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 omwentelingen te gaan voordat het de baan verlaat. Hoeveel zijn er nog over na een omwenteling van een halve seconde, en na een van een hele seconde? Hoe ver verschuift een timingfout van 0,012 seconde bij T = 0,8 de voorspelling?
Oplossing tonen
Antwoord Ongeveer 9,5 omwentelingen na een ronde van een halve seconde en 2,85 na een ronde van één seconde. De fout verschuift de voorspelling met ongeveer 0,12 omwenteling, ruwweg 4½ vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen →.
T = 0,5: 3T/20 = 0,075 en e^0,075 ≈ 1,0779, dus 1/0,0779 ≈ 12,84, en 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 omwentelingen. T = 1: e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18, en 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Een snelle ronde betekent dat er nog veel omwentelingen komen, en een ronde die twee keer zo langzaam is, laat er minder dan een derde zoveel over.
Bij T = 0,8 geeft de formule 4,51 omwentelingen; bij T = 0,812 geeft ze 4,39. Een fout van 12 duizendste seconde, ongeveer de tijd die het balletje nodig heeft om zijn eigen breedte te rollen, verschuift de voorspelling met 0,12 omwenteling: ongeveer 4½ vakken van een wiel met 37 vakken. Die ene fout is het grootste deel van de 5,5 vakken die het foutenbudget van Thorp toestaat voor het timen van het balletje (zie Advantage play), en daarom begrenst de klok, niet het rekenwerk, wat een voorspeller kan.
Komische noot
Voorspelbaar tot de val. Daarna de deflectoren.
Bronnen
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”