Gokkersdrogreden
De overtuiging dat een uitkomst “aan de beurt” is omdat die al een tijd niet is gevallen.
Na tien keer rood is de kans op zwart nog steeds 18/37. Het wiel houdt niets bij en is niets verschuldigd.
De drogreden
Als roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → tien keer is gevallen, vinden veel spelers dat zwartinzetZwartEnkelvoudige kans op de 18 zwarte nummers. Frans: noir.Volledig lezen → “aan de beurt” is en zetten ze daarop in. Anderen vinden rood “heet” en zetten daarop in. Beide redeneren vanuit een reeks die al voorbij is naar een spin die nog niet heeft plaatsgevonden. Het balletjemateriaalBalletjeHet kleine balletje dat langs de baan wordt gelanceerd, tegen de rotor in. Moderne balletjes zijn van ivorine of teflon, 18–21 mm.Volledig lezen → weet niet wat de laatste tien spins waren; de vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → zijn even groot als een uur geleden; de kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → op zwart is 18/37, zoals altijd.
Waarom het waar voelt
Op de lange termijn naderen de aandelen rood en zwart inderdaad elk 18/37. De wet van de grote aantallenwiskundeWet van de grote aantallenHet gemiddelde van onafhankelijke uitkomsten convergeert naar de verwachtingswaarde naarmate het aantal pogingen groeit.Volledig lezen → garandeert dat. Maar convergentie verloopt door verdunning, niet door correctie: na nog eens 1.000 spins zijn de tien extra keer rood een afrondingsfout in het aandeel, niet doordat zwart is ingelopen maar doordat de steekproef is gegroeid. Er is geen mechanisme dat zwart waarschijnlijker maakt, en de wet van de grote aantallen vraagt er ook geen.
Monte Carlo, 18 augustus 1913
Aan een tafel in het Casino de Monte-Carlo viel zwart 26 keer achter elkaar. Vanaf ongeveer de vijftiende keer zwart stortten spelers zich op rood, verdubbelden en verdubbelden opnieuw, elke spin “zekerder” dan de vorige. Het casino won miljoenen francs. De reeks had vanaf de eerste keer zwart een kans van 1 op 137 miljoen, en de kans dat ze ergens in de casino’s van de wereld uiteindelijk zou voorkomen was vrijwel één. Het is de reden dat de gokkersdrogreden ook de Monte Carlo-drogreden heet.
Niet bijzonder. Komt één keer op de 44 voor.
Spelers beginnen het op te merken. Rood is “aan de beurt”.
De tafel zit vol. Inzetten op rood worden na elk verlies verdubbeld.
Fortuinen verloren. Elke nieuwe keer zwart laat rood zekerder voelen.
De reeks eindigt. Het casino heeft miljoenen francs gewonnen van mensen die inzetten tegen een reeks die niet kon “weten” dat ze een reeks was.
De hot hand
Op een kleur inzetten omdat die een reeks heeft, is dezelfde fout andersom: je verwacht dat de reeks doorgaat in plaats van eindigt. Psychologen noemen het de hot handmytheHot handHet geloof dat een reeks winsten, of van één uitkomst, een volgende waarschijnlijker maakt. Aan het wiel is het de gokkersdrogreden andersom.Volledig lezen →, naar een studie uit 1985 van Gilovich, Vallone en Tversky die bij basketbalschoten naar reeksen zocht en er geen vond boven wat het toeval geeft. In 2018 lieten Miller en Sanjurjo zien dat de toets zelf scheef was: in een korte reeks schoten valt het aandeel treffers direct na een treffer gemiddeld lager uit dan het totale percentage van de schutter, zodat een speler zonder enige hot hand er licht koud uitziet. Gecorrigeerd laten dezelfde gegevens een bescheiden hot hand zien. Een mens kan op dreef raken; een wiel kan niet in vorm zijn. Sommige spelers geloven beide tegelijk: een reeks gaat door tot hij “te lang” is en eindigt dan. Op een eerlijk wiel heeft elke versie dezelfde verwachtingswaardewiskundeVerwachtingswaardeHet gemiddelde resultaat per inzet op de lange termijn. −1/37 van de inzet voor elke standaardinzet bij Europese roulette.Volledig lezen → als een kleur kiezen door een munt op te gooien: −2,70% van de inzet.
Aan een echte tafel
Croson en Sundali (2005) bekeken 18 uur aan beveiligingsbeelden van één tafel met dubbele zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → in een groot casino in Reno: 139 spelers die 24.131 inzetten plaatsten. Op de enkelvoudige kanseninzetEnkelvoudige kansRood/zwart, oneven/even, hoog/laag. 18 nummers, betaalt 1:1 uit.Volledig lezen → waren de spelers ongeveer gelijk verdeeld tussen korte reeksen volgen en ertegenin gaan. Na vijf keer hetzelfde op rij neigden ze tegen de reeks in, en na zes of meer lag 85% van hun inzetten aan de andere kant. Dezelfde spelers vertoonden de hot hand over zichzelf: na een winst op de nummers dekten ze bij de volgende spin gemiddeld 13,6 nummers, tegen 9,2 na een verlies. Hun wiel vertoonde geen spoor van bias, dus niets hiervan veranderde wat een van hen kon verwachten.
Buiten het casino
Dezelfde neiging duikt op waar echte beslissingen worden genomen. Clotfelter en Cook (1993) volgden het dagelijkse nummerspel van Maryland: het geld dat op een nummer werd ingezet, daalde sterk zodra het getrokken was en had maanden nodig om te herstellen, hoewel de trekking geen geheugen heeft. Chen, Moskowitz en Shue (2016) vonden het bij professionals. Asielrechters in de Verenigde Staten wezen tot 3,3 procentpunt vaker een zaak af als ze de vorige hadden toegewezen. Honkbalscheidsrechters gaven 1,5 punt minder vaak een strike nadat ze er net een hadden gegeven, en bij krappe worpen meer dan het dubbele daarvan. In een veldexperiment met kredietbeoordelaars die een vast bedrag kregen, werd tot 9% van de beslissingen zo omgedraaid. De zaken kwamen in willekeurige volgorde, dus de laatste beslissing zei niets over de volgende, net zoals de laatste spin niets zegt over de volgende.
De omgekeerde gokkersdrogreden
De filosoof Ian Hacking (1987) gaf een derde versie een naam. Iemand komt een kamer binnen, ziet twee dobbelstenen op dubbel zes landen en concludeert dat er al vaak gegooid moet zijn. Elke worp heeft evenveel kans op dubbel zes, of het nu de eerste van de avond is of de duizendste, dus wat je ziet zegt niets over hoe lang het spel al bezig is. Bij roulette is het de speler die bij een scorebord met acht keer rood aankomt en besluit dat de tafel al uren gedraaid moet hebben om dat op te leveren. De gewone drogreden leest het verleden in de volgende spin; deze leest een zeldzaam beeld in een verleden dat niemand zag.
Een psycholoog die erin geloofde
De drogreden heeft geleerde verdedigers gehad. De Duitse psycholoog Karl Marbe nam vier geboorteregisters van elk 49.152 geboorten door, vond dat de langste reeks jongens of meisjes achter elkaar 17 was, en concludeerde dat lange reeksen zeldzamer zijn dan het toeval toelaat, zodat een reeks de andere uitkomst waarschijnlijker maakt. Het toeval alleen zegt iets anders: in 196.608 geboorten duikt een reeks van 17 of meer in ongeveer vier van de vijf gevallen op. Marbe had precies gevonden hoe een toevallige reeks eruitziet. Epstein (2013) vertelt het geval na; Kans op reeksen geeft de rouletteversie.
Waar de drogreden niet geldt
Als het wiel fysiek bias had, zouden eerdere spins informatief zijn, omdat ze bewijs zouden zijn over de vakken in plaats van over geluk. Dat is het onderwerp van het Roulettelab, en daarvoor zijn duizenden spins van één geïdentificeerd wiel nodig om iets te kunnen zeggen. Bij een reeks van tien keer rood op een onbekend wiel is de verklaring met bias veel minder waarschijnlijk dan die met toeval.
Vragen
Nee. Hij geldt voor elke onafhankelijke herhaalde gebeurtenis: dobbelstenen, munten, loterijnummers.
De aandelen komen dicht bij elkaar. Je resultaat blijft ongeveer −2,70% van wat je hebt ingezet.
Er bestaat geen wet van de gemiddelden. Er is een wet van de grote aantallen, en die werkt door verdunning.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Na 10 worpen toont een munt 7 keer kop en 3 keer munt. Na 1.000 worpen toont hij 517 keer kop en 483 keer munt. Heeft munt de achterstand ingehaald?
Oplossing tonen
Antwoord Nee. Het verschil groeide van 4 naar 34. Alleen de verhouding kwam dichter bij gelijk.
De verhouding tussen kop en munt daalde van 7/3, ongeveer 2,33, naar 517/483, ongeveer 1,07. Dat is de wet van de grote aantallenwiskundeWet van de grote aantallenHet gemiddelde van onafhankelijke uitkomsten convergeert naar de verwachtingswaarde naarmate het aantal pogingen groeit.Volledig lezen → aan het werk.
Het verschil tussen beide groeide, van 4 naar 34. Met een eerlijke munt is een verschil van rond de 30 na 1.000 worpen heel gewoon: het typische verschil groeit ongeveer met de wortel uit het aantal worpen, terwijl de verhouding naar 1 toe gaat.
Niets trok munt terug. Het vroege overschot aan kop werd verdund door de volgende 990 worpen, niet gecorrigeerd.
Gooi een munt vier keer op en kijk alleen naar de worpen die direct na kop komen. Welk aandeel daarvan is kop? Reken het uit voor elk van de 16 mogelijke rijtjes en neem het gemiddelde van die aandelen. Is het 50%?
Oplossing tonen
Antwoord Nee. Het is 17/42, ongeveer 40,5%. Zo bekeken lijkt een eerlijke munt na kop koud te worden.
Schrijf de 16 rijtjes op (H voor kop, T voor munt, naar het Engelse heads en tails). Twee ervan, TTTT en TTTH, hebben geen kop in de eerste drie worpen, dus er volgt niets op een kop; er blijven er 14 over.
Neem in elk rijtje de worpen die op een kop volgen en bepaal welk aandeel daarvan kop is. HHHH geeft 3 van de 3. HHHT geeft 2 van de 3. HTHT geeft 0 van de 2. Alle 14 doorgelopen: zes rijtjes geven 0, vier geven 1/2, één geeft 2/3 en drie geven 1 (HHHH, THHH en TTHH).
Tel de aandelen op: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Deel door 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Geen enkele worp bevoordeelt munt; elke worp is 50–50. De scheefheid komt van het middelen per rijtje: een rijtje vol kop heeft veel worpen om naar te kijken maar telt één keer, net als een rijtje met maar één. Miller en Sanjurjo (2018) lieten zien dat de hot-handstudie uit 1985 haar basketballers zo had gemeten, zodat spelers die niet vaker in reeksen leken te scoren dan het toeval, dat in werkelijkheid wel iets vaker deden.
Komische noot
Verdunning, geen correctie. Het wiel is niets verschuldigd.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”