Standaardafwijking
De vierkantswortel van de variantiewiskundeVariantieEen maat voor hoe breed de resultaten rond de verwachtingswaarde gespreid liggen. Hoog voor een straight up, laag voor enkelvoudige kansen.Volledig lezen →: de typische afstand tussen een resultaat en zijn verwachting.
Per ingezette $1 is σ 5,84 voor een straight up en 1,00 voor rood. Vermenigvuldig met de inzet en met de wortel uit het aantal spins voor een sessie.
Vuistregel
Ongeveer twee derde van de sessies komt binnen één σ van de verwachting en 95% binnen twee. Bij 100 spins op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → met $10 (verwacht −$27, σ = $100) vallen de meeste sessies tussen −$127 en +$73, en bijna alle tussen −$227 en +$173. Een resultaat buiten dat bereik bewijst niets, behalve dat één sessie op de twintig dat doet.
Waarom √N
Verwacht verlieswiskundeVerwacht verliesVerwachtingswaarde maal het totale ingezette bedrag; het bedrag dat je gemiddeld verliest over een sessie of een periode.Volledig lezen → groeit evenredig met N; de spreiding groeit evenredig met √N. Bij kleine N overheerst de spreiding en zijn sessies muntworpen met een lichte neiging. Bij grote N loopt het verlies uit op de spreiding. Het kruispunt, waar het verwachte verlies gelijk is aan één standaardafwijkingwiskundeStandaardafwijkingDe wortel uit de variantie; de typische afstand van een resultaat tot de verwachtingswaarde.Volledig lezen →, ligt bij N = (σ/huisvoordeel)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 spins voor een enkelvoudige kans en (5,84/0,027)² ≈ 46.800 voor straight upsinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen →. Onder die getallen beslist geluk; erboven beslist het huisvoordeel.
Toepassen
Om te beoordelen of een sessie ongewoon was, bereken je (resultaat − EV)/σ. Wie $10 op rood inzet en 100 spins afsluit op +$150, zit op (150 + 27)/100 = 1,77σ, een uitkomst van één op de 25: geluk, niet opmerkelijk. Wie op straight ups inzet en hetzelfde +$150 haalt, zit op 0,3σ: een gewone avond. Hetzelfde dollarresultaat betekent bij verschillende inzetten iets anders.
Standaardfout van een aandeel
Dezelfde rekenkunde vertelt je hoeveel spins het kost om het huisvoordeel in de data te zien. De standaardfout van een waargenomen winstaandeel is √(p(1 − p)/N). Voor rood met N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Het verschil tussen een eerlijke munt en rood is 1,35%, dus na 1.000 spins kun je ze nog steeds niet met vertrouwen uit elkaar houden. Na 10.000 is de standaardfout 0,5% en kan het wel. Dit is ook waarom het opsporen van wielbias zoveel spins vraagt.
Een waarschuwing over scheefheid
Resultaten van straight ups zijn in een korte sessie verre van normaal verdeeld: de meeste sessies zijn een gestage −$10 per spin met af en toe +$350-sprongen. De ±1σ-regel beschrijft de spreiding goed maar de vorm slecht tot N in de honderden loopt. Voor enkelvoudige kanseninzetEnkelvoudige kansRood/zwart, oneven/even, hoog/laag. 18 nummers, betaalt 1:1 uit.Volledig lezen → is de normale benadering goed vanaf ongeveer 30 spins.
Formule
Vragen
Het bewijst dat je ongeveer 40 sessies hebt gespeeld, of dat je in de ene van de veertig zat. Herhaal het.
Het schommelt steeds minder: de standaardfout van het gemiddelde is σ/√N. Bij N = 10.000 is dat 1% van de inzet.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Over 100 spins op een Europees wiel staat één eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → in de plus bij minstens 51 winsten, en staat één eenheid op een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → in de plus als het nummer minstens 3 keer valt. Schat beide kansen met de klokvormige verdeling en vergelijk ze daarna met de exacte antwoorden.
Oplossing tonen
Antwoord Rood: de klokvormige verdeling geeft 35,6% en het exacte antwoord is 35,5%. De straight up: de klokvormige verdeling geeft 55,0% en het exacte antwoord is 50,9%. De vuistregel werkt voor rood en zit ernaast bij het losse nummer.
Rood: gemiddeld 100 × 18/37 = 48,6 winsten, met een spreiding van √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. In de plus betekent 51 of meer; het halverwegepunt, 50,5, ligt 0,37 keer de spreiding boven het gemiddelde, en de klokvormige verdeling legt 35,6% daarboven. De exacte kansen op 51, 52 … 100 winsten optellen geeft 35,5%.
Straight up: gemiddeld 100/37 = 2,70 treffers, met een spreiding van √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Drie of meer treffers betekent boven 2,5, 0,12 keer de spreiding onder het gemiddelde: 55,0% volgens de klokvormige verdeling. Exact is het 1 min de kansen op 0, 1 en 2 treffers, 6,5% + 17,9% + 24,7%, wat 50,9% overlaat.
De klokvormige verdeling heeft genoeg uitkomsten aan beide kanten van het gemiddelde nodig. Rood heeft die na 100 spins; een nummer dat gemiddeld minder dan drie keer valt niet. De klokvorm geeft zelfs 8,7% aan “geen treffer”, terwijl de echte kans 6,5% is. Taylor (2021) zet de binomiale en de klokvormige verdeling op dezelfde manier naast elkaar.
Komische noot
Eén sessie op de twintig valt buiten twee sigma. Iemand zit altijd in de staart.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.