Ruïnekans
De kans dat je je hele bankroll verliest voordat je een doel bereikt.
Bij enkelvoudige kansen volgt de ruïnekans de formule van de ruïne van de gokker. Met een bankroll van $500, inzetten van $10 en een doel van $600 bereik je het doel in ongeveer 57% van de gevallen en raak je in de rest je bankroll kwijt.
De vraag
Je hebt a eenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → en wilt a + b eenheden bereiken, door telkens één eenheid in te zetten op een enkelvoudige kansinzetEnkelvoudige kansRood/zwart, oneven/even, hoog/laag. 18 nummers, betaalt 1:1 uit.Volledig lezen → met kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → op winst p = 18/37 en kans op verlies q = 19/37. Wat is de kans dat je het doel bereikt voordat je bij nul uitkomt? Het antwoord werd in de jaren 1650 uitgewerkt door Pascal, Fermat en Huygens en is een van de oudste resultaten in de kansrekening.
De formule voor de ruïne van de gokker
P(doel bereiken) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). RuïnekanswiskundeRuïnekansDe kans dat je de hele bankroll verliest voordat je een doel of een aantal spins bereikt.Volledig lezen → is één min dat. Met q/p = 19/18 ≈ 1,0556 groeit de verhouding exponentieel in het aantal eenheden, dus de formule straft kleine eenheden zwaar: hoe meer inzetten er nodig zijn om het doel te bereiken, hoe vaker onderweg de tol van 2,70% wordt betaald.
Hoe je het leest
Kleinere eenheden doen pijn. Proberen $500 te verdubbelen met inzetten van $10 lukt in 6% van de gevallen; met één inzet van $500 lukt het in 48,6% van de gevallen. Gedurfd spelen, minder en grotere inzetten, maximaliseert de kans een doel te halen in een spel met negatieve verwachting, omdat het het aantal keren minimaliseert dat het huisvoordeel wordt toegepast. Het maximaliseert ook de variantiewiskundeVariantieEen maat voor hoe breed de resultaten rond de verwachtingswaarde gespreid liggen. Hoog voor een straight up, laag voor enkelvoudige kansen.Volledig lezen → van wat je overkomt, en de avond is snel voorbij. De stelling heet “gedurfd spelen is optimaal” en werd in 1965 bewezen door Dubins en Savage.
Waar het vraagstuk begon
De vraag is ouder dan roulette. In 1656 legde Pascal Fermat een puzzel voor: twee spelers gooien met drie dobbelstenen en beginnen elk met 12 penningen; een worp van 11 verschuift een penning de ene kant op, een worp van 14 de andere. Beiden losten het op, en Huygens, die ervan hoorde via een brief van de wiskundige Pierre de Carcavi, publiceerde het in 1657 als het vijfde vraagstuk van het eerste boek over kansrekening, met het antwoord en zonder bewijs. Elf kan op 27 manieren worden gegooid en veertien maar op 15, dus elke penning gaat 9 van de 14 keer naar de eerste speler, en volgens de formule hierboven, met 12 penningen per speler, is het voor hem ongeveer 1.157 keer zo waarschijnlijk dat hij alles wint als dat hij alles verliest. Een voordeel van 2,70% is veel kleiner, maar dezelfde formule laat zien wat het over veel inzetten doet.
Een echte gedurfde inzet
In april 2004 verkocht Ashley Revell, een jonge Engelsman, bijna alles wat hij bezat, ook zijn kleren, en nam $135.300 mee naar de Plaza in Las Vegas. Na een paar kleine inzetten zette hij het hele bedrag op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen →, één keer. Het balletjemateriaalBalletjeHet kleine balletje dat langs de baan wordt gelanceerd, tegen de rotor in. Moderne balletjes zijn van ivorine of teflon, 18–21 mm.Volledig lezen → viel op rood 7 en hij liep naar buiten met $270.600. Op een wiel met dubbele zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → was die ene spin een kans van 47,37% en kostte die hem gemiddeld $7.121, het voordeel van 5,26% op één inzet. Verdeeld over inzetten van $10 zou hetzelfde doel vrijwel hopeloos zijn geweest. Gedurfd spelen maakt de inzet niet goed; het maakt hem zo kort mogelijk.
Ruïnekans zonder doel
Als je gewoon speelt tot je je bankroll kwijt bent of na N spins stopt, wordt de vraag “wat is de kans dat mijn bankroll binnen N spins nul raakt?”. Voor algemene N bestaat er geen gesloten vorm, maar de simulators op deze site rekenen het uit: een bankroll van $500 bij $10 op rood raakt in 100 spins bijna nooit op (minder dan 1%), in ongeveer 9% van de gevallen in 500 spins en in ongeveer 95% van de gevallen in 5.000. Zonder stopregel gaat de kans naar 100%, en dat is de lange-termijnversie van het huisvoordeelwiskundeHuisvoordeelHet deel van elke inzet dat het casino gemiddeld houdt: 2,70% bij Europese roulette.Volledig lezen →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaan −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Hoe lang, en hoe ver in de plus
Nog twee klassieke resultaten beantwoorden vragen die spelers echt stellen. Zonder doel houden vaste inzetten op een enkelvoudige kans het gemiddeld 37 spins vol per eenheid bankroll op een Europees wiel en 19 op een Amerikaans wiel, omdat elke spin gemiddeld 1/37 van een eenheid kost (1/19 op een Amerikaans wiel): 100 eenheden gaan gemiddeld 3.700 spins mee, al is de helft van zulke sessies binnen 3.134 voorbij (zie Sessieduur en kosten). En hoe groot de bankroll ook is, de kans op een Europees wiel om ooit k eenheden in de plus te staan is (18/19)ᵏ. Dat is 95% voor één eenheid en 58% voor tien, maar geen bankroll, hoe diep ook, geeft een kans van minstens de helft om ooit 13 eenheden voor te staan; op een Amerikaans wiel is de kans (9/10)ᵏ en zakt die bij 7 eenheden onder de helft.
Een bankroll voor een fiftyfiftykans
Draai de vraag om: hoeveel moet je meebrengen om minstens een fiftyfiftykans te hebben een bepaald bedrag te winnen voordat je alles verliest? Voor een kleine winst niet veel. Voor een grotere loopt de benodigde bankroll steil op, en voorbij een bepaald punt is geen bankroll genoeg, omdat zelfs een eindeloze bankroll minder dan een fiftyfiftykans geeft om ooit zo ver in de plus te komen. Taylor (2021) zegt het anders: op een Amerikaans wiel moet je, voor een fiftyfiftykans om 100 eenheden te bereiken, met 94 beginnen, en dus 94 riskeren om 6 te winnen. Op een Europees wiel zou je er 88 nodig hebben.
De praktische les
Bepaal wat je probeert te doen. Is het doel een specifieke winst, zet dan groot en weinig in. Is het doel een lange avond, zet dan klein in en accepteer dat het huisvoordeel zijn 2,70% van een grote totale inzetgeldTotale inzetHet totale bedrag (omzet) dat over een sessie of periode is ingezet, opnieuw ingezette winst meegeteld. Ook: handle, action.Volledig lezen → neemt. Is het doel allebei, dan moet er iets wijken, en dat is meestal het doel.
Formule
Vragen
MartingalestrategieMartingaleProgressie die de inzet na elk verlies verdubbelt. Zie de sectie Strategie voor wat ze wel en niet doet.Volledig lezen → verlaagt ze bij korte sessies en verhoogt ze sterk bij lange. Vaste inzetstrategieVaste inzetElke spin hetzelfde bedrag inzetten (flat betting). De maatstaf waarmee elke progressie wordt vergeleken.Volledig lezen → met een grotere eenheid is de eerlijke manier om ze te verlagen.
De formule hierboven geldt voor enkelvoudige kansen. Bij inzetten met hoge variantie is ruïne waarschijnlijker bij kleine inzetten en wordt het doel op een grilliger manier bereikt; gebruik de calculator.
Elke stap naar het doel is iets minder waarschijnlijk dan elke stap naar ruïne; de verhouding stapelt zich op over het aantal stappen.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Je hebt $100 en wilt $1.000, en je zet alleen op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → in. Plan één: zet telkens $1 in. Plan twee: zet alles in wat je hebt tot je boven $500 komt, en dan precies genoeg om $1.000 te halen. Welk plan is beter, en hoeveel?
Oplossing tonen
Antwoord Plan twee, veruit. Het haalt $1.000 in ongeveer 9,0% van de gevallen, dicht bij de eerlijke 10%. Plan één slaagt ongeveer 7 keer op 10²².
In een eerlijk spelwiskundeEerlijk spelEen spel waarin geen van beide partijen een voordeel heeft: elke inzet heeft een verwachtingswaarde van nul.Volledig lezen → zou je vanuit $100 één keer op tien $1.000 halen, wat je ook deed, omdat de gemiddelde waarde van je geld op $100 blijft.
Het voordeel van het huis neemt 2,70% van elke inzet, dus hoe minder je in totaal inzet, hoe dichter je bij één op tien blijft. Plan twee beslist de zaak in een handvol inzetten: $100 wordt $200, $400, $800, en dan is $200 genoeg. Het slaagt in ongeveer 9,0% van de gevallen. Plan één vraagt duizenden inzetten voordat de wandeling eindigt, en het voordeel, klein bij elke inzet, telt op tot bijna zekere ruïne.
Dit is het resultaat van Dubins en Savage in zijn eenvoudigste vorm (Epstein, 2013): in een spel dat het huis bevoordeelt, zet je zoveel in als je nodig hebt, zo weinig keer als je kunt.
Je hebt $500 en wilt $1.000, en je stopt zodra je dat hebt. Je kiest één soort inzet en herhaalt die tot ze één keer wint of het geld op is. Welke soort geeft de beste kans?
Oplossing tonen
Antwoord Eén inzet van $500 op rood: 48,6%. Elk plan dat het geld over kleinere inzetten verdeelt, doet het slechter.
Kies elke inzet zo dat één winst genoeg is: $30 op een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → wint $1.050, $60 op een splitinzetSplitTwee aangrenzende nummers, betaalt 17:1 uit.Volledig lezen → wint $1.020, enzovoort. Tel dan de kans dat minstens één inzet wint voordat het geld op is. Zestien straight ups van $30 missen allemaal met kans (36/37)¹⁶ = 64,5%, dus ze halen $1.000 in 35,5% van de gevallen.
De tabel toont elke inzet. Rood doet het het best omdat het er in één inzet komt, zodat het voordeel één keer wordt betaald, op $500. De six lineinzetSix lineZes nummers in twee aangrenzende rijen, betaalt 5:1 uit. Frans: sixain.Volledig lezen → komt op de tweede plaats omdat die er maar drie nodig heeft. Eén inzet op een dozijninzetDozijn1–12, 13–24 of 25–36, betaalt 2:1 uit.Volledig lezen → is het slechtst, een kans van 12/37; zelfs gespeeld in eenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → van $250 tot je $1.000 of meer hebt, komt het dozijn er maar in 46,4% van de gevallen.
Bollman (2024) maakt dezelfde tabel voor een Amerikaans wiel. Zijn rij voor het dozijn bevat een vergissing: daar zou 12/38 = 31,6% moeten staan.
inzetinzet × aantal inzettenkans om $1.000 te halenStraight up$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Dozijn$500 × 132,4%Rood$500 × 148,6%Je zet één eenheid op rood in, spin na spin, met een bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → die nooit opraakt. Na de eerste spin sta je één eenheid in de plus of in de min. Hoe groot is de kans dat je ooit weer precies quitte staat?
Oplossing tonen
Antwoord 36 op 37, 97,3%. Op een Amerikaans wiel is het 36 op 38, 94,7%.
Als de eerste spin wint (18 keer op 37), sta je één eenheid in de plus, en het voordeel trekt elke eindeloze sessie omlaag, dus vroeg of laat kom je weer langs quitte: dat is zeker. Als hij verliest (19 keer op 37), moet je één eenheid klimmen, en de kans om ooit één eenheid in de plus te staan is 18/19 (zie de tabel hierboven).
Samen: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
In het algemeen is de kans 1 min het verschil tussen de kans om een spin te winnen en die om hem te verliezen: 1 − 1/37 op een Europees wiel, 1 − 2/38 op een Amerikaans wiel. In een spel zonder zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → is het verschil nul en is de kans 1: de stand komt altijd weer op quitte uit. Epstein (2013) geeft de algemene regel.
De puzzel van Pascal uit 1656: twee spelers gooien met drie dobbelstenen en beginnen elk met 12 penningen. Elke 11 verschuift een penning naar de eerste speler, elke 14 een naar de tweede; andere worpen tellen niet. Hoe groot is de kans dat de eerste speler alle 24 wint? En als je in plaats daarvan elke spin 1 eenheid op rood zet tegen een vriend die de bank speelt, met elk 12 eenheden, hoe groot is dan de kans dat jij alle 24 wint?
Oplossing tonen
Antwoord De eerste speler wint ongeveer 1.157 keer op 1.158. Jij, op rood, wint alle 24 eenheden maar in ongeveer 34% van de gevallen.
Drie dobbelstenen maken 11 op 27 manieren en 14 op 15 manieren, dus elke penning die verschuift, gaat 27 van de 42 keer naar de eerste speler: 9 van de 14 keer. Als elke kant met 12 begint, is de kans om alles te pakken 1/(1 + r¹²), waarbij r de verhouding is tussen de kans van de andere kant en die van jou.
Voor de eerste speler is r = 5/9, en (5/9)¹² ≈ 0,00086, dus de kans is ongeveer 0,99914: een kansverhouding van 9¹² tegen 5¹², of 282.429.536.481 tegen 244.140.625, ongeveer 1.157 tegen 1. Huygens publiceerde precies die getallen in 1657.
Op rood is r = 19/18 vanwege de zero, en (19/18)¹² ≈ 1,913: je kans is 1/2,913 ≈ 34,3%. Een munt zou 50% geven. Het voordeel van 2,70% op elke inzet telt over de vele inzetten die het kost op tot een verschil van 16 procentpunten.
Komische noot
Gedurfd spelen is optimaal. Het is ook snel voorbij.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Brief aan Huygens, 28 september 1656, over het vraagstuk dat Pascal aan Fermat voorlegde.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”