Vraagstuk: de tafellimiet
Een Martingale van $10 aan een tafel met een limiet van $500. Hoe vaak breekt die, hoeveel verliest hij als dat gebeurt, en helpt het om de limiet te verhogen?
Zes verliezen op rij breken hem: 1,8% per cyclus, ongeveer 60% van de sessies van 100 spins. De breuk kost $630. De limiet verhogen naar $5.000 maakt de breuk zeldzamer (0,25% per cyclus) en groter ($5.110). Het verwachte verlies per ingezette dollar is bij elke limiet 2,70%.
Het vraagstuk
Een speler zet $10 in op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → en verdubbelt na elk verlies, en begint opnieuw na een winst. Het tafelmaximum is $500. (a) Hoeveel opeenvolgende verliezen breken de progressiestrategieProgressieElke regel die de inzet aanpast op grond van eerdere resultaten. Negatieve progressies verhogen hem na verlies, positieve na winst.Volledig lezen →? (b) Wat is de kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → per cyclus? (c) Wat gaat er verloren bij de breuk? (d) Hoe veranderen de antwoorden bij een limiet van $5.000? (e) Maakt enige limiet het systeem winstgevend?
Oplossingen (a)–(c)
Inzetten: 10, 20, 40, 80, 160, 320. De zevende zou 640 > 500 zijn, dus zes verliezen breken hem. (b) p(verlies) = 19/37 op rood; (19/37)⁶ = 0,0183, ongeveer 1,8% per cyclus. Een cyclus duurt gemiddeld ongeveer twee spins, dus een sessie van 100 spins heeft grofweg 50 cycli en p(minstens één breuk) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ofwel 63 basiseenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen →, tegenover de $10 die de cyclus probeerde te winnen.
Oplossing (d)
Bij $5.000: inzetten tot 2.560 zijn toegestaan; de tiende inzet, 5.120, wordt geweigerd. Negen verliezen breken hem: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per cyclus, ongeveer 11% van de sessies van 100 spins. Verlies bij de breuk: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. De speler heeft een zeldzamere catastrofe gekocht tegen de prijs van een grotere. Over veel sessies zijn de verwachte kosten van breuken p × verlies ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per cyclus bij de limiet van $500 en 0,0025 × 5.110 = $12,8 bij $5.000; dat is, afgerond, hetzelfde getal, en het is het verwachte verlieswiskundeVerwacht verliesVerwachtingswaarde maal het totale ingezette bedrag; het bedrag dat je gemiddeld verliest over een sessie of een periode.Volledig lezen → van de cyclus min de $10 die de winnende cycli opleveren.
Oplossing (e)
Nee. Verwacht verlies per cyclus = (verwachte totale inzet in de cyclus) / 37, bij elke limiet, omdat elke inzet −1/37 van zichzelf is. De limiet bepaalt alleen hoe het verlies zich verdeelt over veel kleine winsten en weinig grote verliezen. Zonder limiet en met een oneindige bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → zou de progressie “werken”, in de zin dat ze nooit zou breken, en zou ze ook een onbegrensd bedrag inzetten met een verwacht verlies van 2,70% van dat onbegrensde bedrag. De tafellimiettafelTafellimietDe toegestane minimum- en maximuminzet. Het maximum is wat verdubbelingsprogressies tegenhoudt.Volledig lezen → is niet wat MartingalestrategieMartingaleProgressie die de inzet na elk verlies verdubbelt. Zie de sectie Strategie voor wat ze wel en niet doet.Volledig lezen → belet te werken. De rekenkunde doet dat.
Twee echte tafels
Het voorbeeld van Thorp is een tafel van $1 met een maximum van $1.000, waar een speler hoopt dollar voor dollar $30 te winnen voor het avondeten. De inzetten 1, 2, 4 … 512 laten tien inzetten toe, dus tien verliezen op rij breken de progressie: één keer op 785 cycli op een Europees wiel (één keer op 613 op een Amerikaans wiel), en dat kost $1.023. Dertig cycli slagen allemaal in 96,2% van de gevallen. In de andere 3,8% gaat ongeveer $1.000 verloren, en het gemiddelde resultaat van de avond is −$9,17, precies 1/37 van de $339 die de dertig cycli gemiddeld inzetten. Een tafel van $5 met een maximum van $2.000 is niet anders: inzetten tot $1.280 laten negen inzetten toe, en de breuk komt één keer op 403 cycli op een Europees wiel (één keer op 323 op een Amerikaans wiel) en kost $2.555.
Een rijke speler
Geef de progressie een diepe bankroll in plaats van een lage limiet: 1.000 eenheden, een basis van één eenheid en 1.000 spins op rood, waarbij je opnieuw met één eenheid begint zodra de volgende verdubbeling meer is dan wat er over is. We simuleerden een miljoen van zulke avonden. Op een Europees wiel eindigt 52% in de plus, verliest 21% alles en is het gemiddelde resultaat −124 eenheden. Zelfs in een spel zonder zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen →, waarin elke inzet eerlijk is, zou maar ongeveer 60% in de plus eindigen. De gewone avond is een kleine winst; het gemiddelde wordt betaald door de avonden die op nul eindigen.
De les
Casino’s stellen limieten in om hun eigen variantiewiskundeVariantieEen maat voor hoe breed de resultaten rond de verwachtingswaarde gespreid liggen. Hoog voor een straight up, laag voor enkelvoudige kansen.Volledig lezen → te beperken, niet om systemen te verslaan. Martingale verslaan is een bijeffect waar ze blij mee zijn, en de rekenkunde zou het toch verslaan. Een speler die denkt dat de limiet het probleem is, heeft de afgrond gevonden en aangezien voor de helling.
Formule
Vragen
Het laat je een hogere limiet overleven, waar de breuk zeldzamer en groter is. Het verwachte verlies per dollar blijft gelijk.
Inzetten 10, 30, 70, 150, 310: de limiet van $500 wordt na vijf verliezen bereikt, en de breuk kost $570. Dezelfde 2,70%.
Zodat één speler niet meer kan inzetten dan de reserve van het casino comfortabel kan uitbetalen. Beheer van variantie.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Een MartingalestrategieMartingaleProgressie die de inzet na elk verlies verdubbelt. Zie de sectie Strategie voor wat ze wel en niet doet.Volledig lezen → begint met $100 op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → en staat zichzelf hoogstens n inzetten per cyclus toe: na n verliezen achter elkaar geeft hij het op en begint opnieuw. Schrijf het gemiddelde resultaat van één cyclus als formule in n, en reken het uit voor 5, 6 en 7 inzetten op een Europees wiel.
Oplossing tonen
Antwoord Het gemiddelde is 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 bij 5 inzetten, −$17,35 bij 6 en −$20,52 bij 7. Meer inzetten toestaan maakt de gemiddelde cyclus slechter, niet beter.
Een cyclus wint $100, tenzij alle n inzetten verliezen, wat gebeurt met kans qⁿ, waarbij q = 19/37. Als ze allemaal verliezen, tellen de inzetten 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ op tot 100 × (2ⁿ − 1). Het gemiddelde is dus 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hier is 2q = 38/37, iets meer dan 1, dus (2q)ⁿ groeit met n en het gemiddelde daalt: n = 5 geeft 1,1426 en −$14,26; n = 6 geeft 1,1735 en −$17,35; n = 7 geeft 1,2052 en −$20,52. Een langere ladder verliest minder vaak, in 3,6%, 1,8% en 0,9% van de cycli, maar elk verlies is twee keer zo groot, en er gaat per cyclus meer geld over de tafel, tegen 2,70% van elke inzet.
Op een Amerikaans wiel is 2q = 40/38 en zijn de cijfers −$29,24, −$36,04 en −$43,20 (Taylor, 2021). In een spel zonder zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → is 2q = 1, en elke cyclus levert gemiddeld precies nul op, hoe lang de ladder ook is.
De “grand Martingale” verdubbelt de inzet na een verlies en telt er één eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → bij op, dus de inzetten lopen 1, 3, 7, 15, 31 … Hoeveel sta je in de plus als de eerste winst komt bij de 1e, 2e, 3e of k-de inzet? Bij een eenheid van $10 en een maximum van $500: hoe vaak breekt een cyclus af, en wat kost een cyclus gemiddeld?
Oplossing tonen
Antwoord Een winst bij de k-de inzet zet je k eenheden in de plus: +1, +2, +3 enzovoort. Bij $10 en $500 breekt de cyclus af na vijf verliezen, in 3,57% van de cycli, voor −$570. Gemiddeld verliest een cyclus $2,32 van $85,73 ingezet: 2,70%.
De k-de inzet is 2ᵏ − 1 eenheden: 1, 3, 7, 15, 31. De eerste k − 1 inzetten tellen op tot 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Een winst bij de k-de inzet levert 2ᵏ − 1 op, dus de cyclus eindigt (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k eenheden in de plus: één extra eenheid voor elk verlies vóór de winst.
Bij $10 per eenheid zijn de inzetten $10, $30, $70, $150 en $310; de volgende, $630, ligt boven het maximum van $500. Vijf verliezen op rij, (19/37)⁵ = 3,57%, kosten 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gemiddelde: de winsten leveren $10 × k op met kans (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 voor k = 1 tot en met 5, en de afbraak kost $570 met kans 3,57%; samen −$2,32. Het ingezette geld is gemiddeld $85,73 per cyclus, en 2,32/85,73 = 2,70%. De gewone Martingale aan dezelfde tafel breekt af na zes verliezen, in 1,83% van de cycli, voor −$630, en verliest $1,74 van $64,20 ingezet: weer 2,70%.
Een speler plant een Martingale op rood met een eerste inzet van $1 aan een tafel met een limiet van $1.000, dus er zijn tien inzetten mogelijk: $1, $2, $4 enzovoort tot $512. Hoe vaak verliest een cyclus alle tien, hoe lang duurt dat gemiddeld, en hoe vaak eindigt een avond van 200 inzetten zo?
Oplossing tonen
Antwoord Een cyclus verliest alle tien ongeveer één keer op de 784, en dat kost $1.023. Dat is gemiddeld ongeveer 1.600 inzetten, en een avond van 200 inzetten loopt in ongeveer 11% van de gevallen tegen de muur. Een cyclus verliest nog steeds gemiddeld $0,31 van $11,31 ingezet: 2,70%.
Een inzet op rood verliest met kans 19/37, de zero inbegrepen. Tien keer op rij: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, ongeveer 1 op 784. De inzetten 1 + 2 + 4 + … + 512 tellen op tot $1.023.
Een cyclus duurt gemiddeld 2,05 inzetten, dus 784 cycli duren ongeveer 1.600 inzetten. Spin voor spin geteld duikt een reeks van tien verliezen ergens in 200 inzetten op in 11,3% van de gevallen.
Tussen de rampen door wint de speler $1 per cyclus: ongeveer $783 vóór de slechte, dan −$1.023, ongeveer −$240 over het hele stuk. Per cyclus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Ingezet geld per cyclus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. En −0,31/11,31 = −2,70%.
Vergelijk een eerste inzet van $10 bij een limiet van $500, zes inzetten: de muur komt één keer op de 55 cycli, en een avond van 200 inzetten loopt er in 84% van de gevallen tegenaan. Een hogere limiet maakt de klap zeldzamer en groter, niet goedkoper.
Komische noot
Zeldzamer en groter, bij elke limiet. Het product is constant.
Bronnen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.