Vraagstuk: hoe lang tot de zero
Zero valt gemiddeld één spin op de 37. Hoe lang wacht je echt, en wat doet dat met iemand die op enkelvoudige kansen inzet?
De wachttijd op de zero is geometrisch verdeeld: gemiddeld 37 spins, mediaan 25, en één wachttijd op de twintig duurt langer dan 110 spins. In een sessie van 200 spins verwacht iemand die op enkelvoudige kansen inzet 5,4 keer zero en ziet die er tussen 1 en 10.
Het vraagstuk
ZerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → heeft kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → 1/37 per spin. (a) Wat is de kans op geen zero in de volgende 37 spins? (b) Wat is de mediane wachttijd? (c) Hoeveel zero’s mag een speler verwachten in een sessie van 200 spins op een enkelvoudige kans, en wat is de bandbreedte?
Oplossingen
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. In meer dan een derde van de gevallen gaan er 37 spins voorbij zonder één zero, wat dezelfde rekensom is als dat “minstens één keer vallen van een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → in 37 spins” maar 63,7% is. (b) De wachttijd W is geometrisch verdeeld; p(W > k) = (36/37)ᵏ; de mediaan is de k waar dit 0,5 kruist, en dat is k ≈ 25. De helft van de wachttijden is 25 spins of korter en de helft langer; het gemiddelde van 37 wordt omhoog getrokken door de lange staart. (c) Zero’s in 200 spins zijn binomiaal verdeeld met gemiddelde 200/37 = 5,4 en standaardafwijkingwiskundeStandaardafwijkingDe wortel uit de variantie; de typische afstand van een resultaat tot de verwachtingswaarde.Volledig lezen → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Een bandbreedte van 95% loopt grofweg van 1 tot 10.
Wat zero kost op een enkelvoudige kans
Elke zero kost één inzet, en de zero’s zijn het hele huisvoordeel op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen →: over 37 gemiddelde spins heffen de 18 winsten en 18 verliezen elkaar op, en de ene zero is de −1/37. In een sessie van 200 spins met $10 kosten de verwachte 5,4 zero’s $54, precies 200 × $10 / 37. Een sessie met 2 zero’s heeft $34 geluk gehad; een sessie met 9 zero’s heeft $36 pech gehad en zal gemanipuleerd aanvoelen. Aan een tafel met la partageregelLa partageFranse regel: wanneer de zero valt, krijg je de helft van een inzet op een enkelvoudige kans terug. Halveert het huisvoordeel op die inzetten tot 1,35%.Volledig lezen → kost elke zero een halve inzet en worden de bedragen gehalveerd.
Het vervolg
Wat is de kans op twee keer zero op rij? (1/37)² = 1/1.369. In een casino met 20 tafels van 50 spins per uur is dat ongeveer één dubbele zerovariantDubbele zeroHet vak 00 van het Amerikaanse wiel. De aanwezigheid ervan verhoogt het huisvoordeel van 2,70% naar 5,26%.Volledig lezen → ergens elke 1,4 uur. Spelers die het zien, concluderen dat het wiel kapot is; de rekensom zegt dat het dinsdag is.
Probeer het
De Sessiesimulator telt zero’s per sessie. Draai een paar honderd keer 100 spins en zet het aantal uit: het histogram hierboven verschijnt, met zijn lange rechterstaart. In die staart komen de verhalen vandaan.
Formule
Vragen
Niet op een eerlijk wiel. Op een wiel met biaslabWiel met biasEen wiel waarvan fysieke defecten sommige vakken waarschijnlijker maken dan 1/37. Zeldzaam, en alleen aantoonbaar met duizenden genoteerde spins.Volledig lezen → kan elk vakmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → het zijn, en het zou duizenden spins kosten om dat te zien.
Het is een inzet van 2,70% zoals elke andere. Het verandert de vorm van de sessie (een zero wordt een winst) en niet de kosten.
Omdat de verdeling van wachttijden scheef is: veel korte wachttijden, een paar heel lange.
Komische noot
Gemiddelde 37, mediaan 25, en een lange staart waar de legendes wonen.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.