Het Kelly-criterium en roulette
Het Kelly-criterium vertelt een gokker met een voordeel hoeveel die moet inzetten. Voor roulette geeft het een duidelijk antwoord: niets.
Kelly-inzet = voordeel / kansverhouding. Bij een negatief voordeel geeft de formule een negatieve fractie, en dat betekent: niet inzetten. Het criterium blijft nuttig om te begrijpen waarom biasspelers hun inzetten zo bepaalden, en waarom alle anderen hun inzet op budget moeten bepalen.
Het criterium
John Kelly (1956) vroeg hoe een gokker met een bekend voordeel zijn inzetten moet bepalen om de groei van de bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → op de lange termijn te maximaliseren. Het antwoord, voor een inzet die b tegen 1 uitbetaalt met kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → op winst p en kans op verlies q = 1 − p, is om de fractie f* = (bp − q) / b van de bankroll in te zetten. Positieve f* betekent die fractie inzetten; nul of negatief betekent niet inzetten. Kelly werkte bij Bell Labs, en zijn artikel, “A new interpretation of information rate”, plaatste het probleem in de informatietheorie van Claude Shannon: een gokker die via een lijn met ruis tips krijgt en tegen de werkelijke kansverhouding inzet, kan zijn bankroll hoogstens zo snel laten groeien als de lijn informatie overbrengt. In 1961 bewees Leo Breiman dat inzetten volgens Kelly op de lange termijn voor blijft op elke wezenlijk andere strategie en een gesteld doel in ongeveer de kortst mogelijke tijd bereikt.
Toegepast op roulette
Voor roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Voor een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Elke standaardinzet geeft een negatieve Kelly-fractie, omdat elke inzet een negatief voordeel heeft, en de groeioptimale inzet nul is. Kelly is een formele manier om te zeggen wat de pagina Huisvoordeel zegt: er is geen omvang waarbij een inzet met negatieve verwachting een bankroll laat groeien.
Waar Kelly wel gold
Biasspelers hadden een voordeel en een inzetprobleem. Jagger, de García-Pelayo’s en de Eudaemons moesten allemaal beslissen hoeveel ze op hun gemeten voordeel zouden inzetten, en te weinig inzetten verspilt het voordeel terwijl te veel inzetten het risico op ruïne loopt voordat het voordeel zich toont. Voor een vakmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → dat 1 op 30 keer valt, zegt Kelly 0,57% van de bankroll per spin op dat nummer: met $10.000 ongeveer $57 per spin, voor een typische groei van ongeveer 0,054% per spin, of ×1,7 over 1.000 spins. De gemiddelde winst is twee keer zo groot, 0,11% per spin, maar Kelly mikt op de typische bankroll, niet op de gemiddelde, die door een paar gelukkige reeksen wordt opgeblazen. Half-Kelly is de gebruikelijke praktische keuze omdat de schatting van het voordeel onzeker is.
Typisch en gemiddeld
Het verschil tussen de typische bankroll en de gemiddelde is groot. Neem een vak dat 1 keer op 25 valt, een voordeel van 44%, het cijfer dat Thorp voor zijn apparaat geeft. Kelly zet er 1,26% van de bankroll op in. Na 1.000 spins is de typische bankroll ongeveer 11,5 keer zo groot geworden, terwijl de gemiddelde, omhooggetrokken door een paar reeksen met heel veel geluk, ongeveer 249 keer zo groot is geworden. Meer inzetten dan Kelly verhoogt het gemiddelde en verlaagt het typische resultaat: bij twee keer de Kelly-inzet verdubbelt de typische bankroll maar, en bij tweeënhalf keer de Kelly-inzet krimpt hij al, hoewel elke inzet nog steeds een voordeel van 44% heeft. Minder inzetten kost weinig: de halve inzet behoudt ongeveer drie kwart van de groei.
Als het voordeel een schatting is
Kelly gaat ervan uit dat het voordeel bekend is. Aan de tafel wordt het geschat, en de schatting is meestal te hoog. Het voorbeeld van Epstein, gebaseerd op de 44% van Thorp, is een nummer dat 49 keer viel in 1.225 spins van een wiel met dubbele zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen →: 1 keer op 25, een voordeel van 44%, een Kelly-inzet van 1,26%. Maar een eerlijk wiel met dubbele zero heeft 38 nummers, en het drukste daarvan komt in 1.225 spins ongeveer één keer op negen tot 49 of meer. Het drukste nummer in een spinhistorie is ook het nummer dat het meest door geluk is geholpen, dus zelfs een vak met een echte bias ziet er in de spinhistorie beter uit dan het is: de winnaarsvloek. Als dat vak in werkelijkheid eerlijk is, is de Kelly-inzet niets anders dan een inzet die gemiddeld 5,26% verliest. De gebruikelijke antwoorden zijn een fractie van Kelly inzetten en blijven tellen tot het voordeel een nieuwe spinhistorie doorstaat (zie Wielbias opsporen).
Mensen met een voordeel
Het voordeel kennen is niet hetzelfde als het goed gebruiken. Haghani en Dewey (2016) gaven 61 mensen elk $25 om een half uur in te zetten op een munt waarvan hun was verteld dat die in 60% van de worpen kop gaf, met de winst begrensd op $250 (spelers hoorden pas van die grens als ze die bereikten). Kelly zegt: zet elke keer 20% van de bankroll op kop, en de auteurs schatten dat vaste inzetten van 10–20% de grens in ongeveer 95% van de gevallen zouden halen. Slechts 21% van de spelers kwam zo ver. 28% raakte alles kwijt, 18 van de 61 zetten alles in op één worp, ongeveer een derde eindigde onder de $25 waarmee ze begonnen, en de gemiddelde uitbetalinggeldUitbetalingWat een winnende inzet oplevert, genoteerd als “X tegen 1” boven op de teruggegeven inzet.Volledig lezen → was $91. Slechts vijf van de 61 hadden van het Kelly-criterium gehoord. Met een voordeel bepaalt de grootte van de inzetten of je het houdt; zonder voordeel, zoals bij een eerlijk wiel, helpt geen enkele grootte.
Wat je in plaats daarvan gebruikt
Zonder voordeel is inzetten een budgetvraag, geen groeivraag: inzet = wat je bereid bent per spin uit te geven, afgeleid van het uurbudget en het tempo van de tafel (pagina Bankrollbeheer). Kelly’s bijdrage voor de gewone speler is de helderheid van zijn antwoord: nul. Alles wat je boven nul inzet, is de prijs van het spelen, door jou gekozen, door geen enkele formule geoptimaliseerd.
Een opmerking over fractioneel Kelly en “money management”
Systemen die als “Kelly voor roulette” worden verkocht en een vast percentage van de bankroll per inzet aanbevelen, zijn vaste inzetstrategieVaste inzetElke spin hetzelfde bedrag inzetten (flat betting). De maatstaf waarmee elke progressie wordt vergeleken.Volledig lezen → met een slinkende inzet. Ze verliezen 2,70% van de totale inzetgeldTotale inzetHet totale bedrag (omzet) dat over een sessie of periode is ingezet, opnieuw ingezette winst meegeteld. Ook: handle, action.Volledig lezen → en, omdat de inzet krimpt naarmate je verliest, maken ze ruïne langzaam in plaats van onwaarschijnlijk. Het is een redelijke manier om een budget te laten duren; het is geen Kelly, die zou zeggen dat je moet stoppen.
Formule
Vragen
Alleen met een gemeten voordeel van een wiel met biaslabWiel met biasEen wiel waarvan fysieke defecten sommige vakken waarschijnlijker maken dan 1/37. Zeldzaam, en alleen aantoonbaar met duizenden genoteerde spins.Volledig lezen → of een timingapparaat. Niet op een eerlijk wiel.
Omdat de schatting van het voordeel een fout heeft, en te veel inzetten duurder is dan te weinig. Half-Kelly geeft driekwart van de groei bij een kwart van de variantiewiskundeVariantieEen maat voor hoe breed de resultaten rond de verwachtingswaarde gespreid liggen. Hoog voor een straight up, laag voor enkelvoudige kansen.Volledig lezen →.
Nee. Kelly optimaliseert groei bij een voordeel. Bankrollbeheer beheerst de uitgaven zonder voordeel.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Het voorspellingsapparaat van Thorp en Shannon gaf een voordeel van ongeveer 44%. Op één voorspeld nummer zegt Kelly 1,26% van de bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → in te zetten. En als hetzelfde voordeel van 44% op één inzet verdeeld over vijf naburige nummers zat?
Oplossing tonen
Antwoord Dan zegt Kelly 7,1% van de bankroll, en groeit de bankroll bijna zes keer zo snel: over 1.000 inzetten ongeveer 1,25 miljoen keer zo groot, tegen ongeveer 11,5 keer.
Een straight upinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → met een voordeel van 44% wint met kans 0,04, want 36 × 0,04 = 1,44. Kelly’s inzet is het voordeel gedeeld door de uitbetaling: 0,44/35 = 1,26%. De typische groei per inzet is 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, dus 1.000 inzetten vermenigvuldigen de bankroll met ongeveer e^2,44 ≈ 11,5.
Verdeel één inzet over vijf nummers, en de inzet wint met kans 0,20 en betaalt 36/5 voor 1, dat is 6,2 tegen 1: nog steeds een voordeel van 44%, want 0,2 × 7,2 = 1,44. Kelly’s inzet wordt 0,44/6,2 = 7,10%, en de groei per inzet 0,01404, ongeveer 5,75 keer zoveel. Over 1.000 inzetten is dat e^14,04, ongeveer 1,25 miljoen.
Het voordeel is hetzelfde; de schommelingen zijn kleiner. Een inzet die één keer op vijf wint, kan een groter deel van de bankroll dragen zonder ruïne te riskeren, en de groei van Kelly beloont dat. Thorp (1984) gebruikt het voorbeeld om te laten zien waarom voorspellers op sectorenwielSectorEen aaneengesloten boog van vakken op het wiel, te onderscheiden van een groep op het tableau.Volledig lezen → inzetten. In de praktijk hebben vijf bureninzetBurenEen nummer en de twee vakken aan weerszijden ervan op het wiel, vijf fiches als straight up.Volledig lezen → een iets lager voordeel dan het beste losse nummer (zie Advantage play).
Een speler heeft twee naast elkaar liggende vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → gevonden die elk 1 keer op 25 vallen in plaats van 1 op 37. Kan hij beter de splitinzetSplitTwee aangrenzende nummers, betaalt 17:1 uit.Volledig lezen → (cheval) tussen beide tegen 17 tegen 1 spelen, of elk nummer straight up? Hoeveel zegt Kelly, en hoe snel groeit de bankroll vergeleken met één zo’n vak?
Oplossing tonen
Antwoord Het maakt niets uit: 2,59% van de bankroll op de split, of 1,29% op elk nummer. De typische bankroll groeit in 1.000 spins ongeveer 155 keer, tegenover 11,5 keer met één vak.
De split wint met kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → 2/25 = 0,08 en betaalt 17 tegen 1 uit, dus hij levert 18 × 0,08 = 1,44 op per ingezette eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen →: een voordeel van 44%, hetzelfde als één vak met bias. De Kelly-inzet is het voordeel gedeeld door de uitbetaling: 0,44/17 = 2,59%.
Twee straight ups van elk 1,29% geven precies dezelfde resultaten. Valt een van de twee nummers, dan wint de ene fichegeldFicheEen speelpenning die een vast bedrag vertegenwoordigt en die je op het tableau legt om een inzet te plaatsen. Ook: cheque.Volledig lezen → 35 tegen 1 en gaat de andere verloren, netto 34 × 1,29% = 44% van de bankroll, net wat de split uitbetaalt; valt geen van beide, dan gaan ze allebei verloren.
De groei per spin is 0,00505, tegenover 0,00244 voor één vak, dus over 1.000 spins groeit de typische bankroll e^5,046 ≈ 155 keer in plaats van e^2,44 ≈ 11,5 keer. Twee goede nummers zijn veel meer waard dan twee keer één, en daarom zetten biasspelers in op groepen nummers. Thorp (1984) maakt dezelfde vergelijking.
Komische noot
De groeioptimale inzet bij roulette is een getal dat iedereen al kent.
Bronnen
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”