Kans op reeksen
Lange reeksen van één kleur komen vaak voor. Ze betekenen ook niets voor de volgende spin.
Vijf keer rood op rij: 2,7%. Tien keer: 0,074%. In een sessie van 200 spins komt een reeks van zes keer dezelfde kleur vaker wel dan niet voor.
Hoe vaak een reeks verliezen voorkomt
Een inzet op een enkelvoudige kans verliest op een wiel met één zero 19 van de 37 spins. Elke rij geeft de kans dat een bepaalde reeks spins allemaal verliest, en wat een Martingale-speler, die na elk verlies verdubbelt, dan al verloren heeft.
| verliezen op rij | kans | ongeveer 1 op | verloren tot nu toe | volgende inzet |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
De kans is 19/37, één keer per verlies met zichzelf vermenigvuldigd, gerekend vanaf één bepaalde spin. Een lange sessie telt veel spins waarop zo’n reeks kan beginnen, dus over een avond is ze veel waarschijnlijker dan één rij doet vermoeden.
Eén reeks
De kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → dat de volgende k spins allemaal roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → zijn, is (18/37)ᵏ. Twee: 23,7%. Vijf: 2,7%. Tien: 0,074%, ongeveer 1 op 1.350. Twintig: 1 op 1,8 miljoen. Zesentwintig, het record van Monte Carlo: 1 op 137 miljoen. Dit zijn de kansen op een specifieke reeks die bij een specifieke spin begint, en dat is de vraag die vrijwel niemand echt stelt.
In een sessie
De vraag die mensen bedoelen is “komt er ergens in mijn sessie een reeks van k voor?”, en het antwoord is veel groter dan (18/37)ᵏ, omdat een sessie van 200 spins bijna 200 plaatsen biedt waar een reeks kan beginnen. Een reeks van zes of meer van dezelfde kleur, rood of zwartinzetZwartEnkelvoudige kans op de 18 zwarte nummers. Frans: noir.Volledig lezen →, komt in een sessie van 200 spins in ongeveer 94% van de gevallen voor; acht of meer in ongeveer 47%; tien of meer in ongeveer 14%. Noem de kleur vooraf, en de kansen dalen tot ongeveer 75%, 27% en 7%. Wie een avond aan tafel zit, ziet elke avond lange reeksen.
Waarom de Martingale ertoe doet
Elke negatieve progressiestrategieProgressieElke regel die de inzet aanpast op grond van eerdere resultaten. Negatieve progressies verhogen hem na verlies, positieve na winst.Volledig lezen → heeft een reekslengte die haar breekt: zes verliezen bij een basisinzet van $10 en een limiet van $500, tien bij FibonaccistrategieFibonacciProgressie die de rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… volgt: één stap vooruit na een verlies, twee stappen terug na een winst.Volledig lezen →, vijf bij verdrievoudigen op dozijneninzetDozijn1–12, 13–24 of 25–36, betaalt 2:1 uit.Volledig lezen →. De kans op een verliesreeks van zes op een enkelvoudige kans is (19/37)⁶ ≈ 1,8% per poging, en een sessie van 200 spins bevat misschien 100 pogingen, dus de breuk komt bij ongeveer vier van de vijf sessies van die lengte. Kansen op reeksen zijn de reden dat de afgrond niet zeldzaam is.
Hete en koude nummers
Dezelfde rekensom geldt voor straight upsinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen →. In 300 spins is het verwachte aantal per nummer 8,1; de standaardafwijkingwiskundeStandaardafwijkingDe wortel uit de variantie; de typische afstand van een resultaat tot de verwachtingswaarde.Volledig lezen → is ongeveer 2,8. Alleen door toeval valt er elke keer wel een nummer 15 keer en een ander 2 keer. Een uitslagenbord dat “hete” nummers markeert, markeert de top van een normale verdeling. Het Roulettelab legt uit hoeveel spins het duurt voordat een heet nummermytheHeet nummerEen nummer dat de laatste tijd vaker is gevallen dan verwacht. Op een eerlijk wiel voorspelt het niets.Volledig lezen → iets betekent (duizenden, van één geïdentificeerd wiel).
Onafhankelijkheid is het hele punt
Een reeks van tien keer rood maakt zwart niet waarschijnlijker, en rood ook niet. Beide zijn 18/37. Reeksen zijn een eigenschap van toevallige rijen en zouden verdacht zijn door hun afwezigheid: een rij van 200 spins zonder reeks langer dan vier zou veel sterker bewijs van knoeien zijn dan een rij met een reeks van twaalf.
Formule
Vragen
26 keer zwart in Monte Carlo op 18 augustus 1913 is de beroemde. In 1943 werd in een Amerikaans casino 32 keer rood op rij gemeld. Beide zijn verenigbaar met toeval, gezien hoeveel spins casino’s draaien.
Het is hoe dan ook 18/37. Zet in wat je plan zegt, of niets.
Nee. Bias blijkt uit sommige vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → die over duizenden spins vaker vallen, niet uit reeksen van een kleur.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Hoeveel spins van een Europees wiel duurt het gemiddeld voordat elk van de 37 nummers minstens één keer is gevallen?
Oplossing tonen
Antwoord Gemiddeld ongeveer 155 spins; de mediaan is 147.
Tel het wachten af, één nieuw nummer tegelijk. De eerste spin toont altijd een nieuw nummer. Als je 1 nummer hebt gezien, zijn 36 vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen → van de 37 nieuw, dus het volgende nieuwe nummer duurt gemiddeld 37/36 spins. Als je k nummers hebt gezien, duurt het 37/(37 − k).
Tel het wachten op: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spins.
Het meeste daarvan zit aan het eind. Het laatste nummer alleen duurt gemiddeld 37 spins, en de laatste vijf samen ongeveer 85. Op een Amerikaans wiel geeft dezelfde som ongeveer 161. Dit is het verzamelaarsprobleem (coupon collector’s problem); de Wizard of Odds geeft hetzelfde gemiddelde.
Hoeveel verschillende nummers mag je verwachten te zien in 37 spins van een Europees wiel, één spin per vak?
Oplossing tonen
Antwoord Ongeveer 23,6. Grofweg een derde van de nummers, ongeveer 13, valt helemaal niet.
Neem één nummer, zeg 17. Bij elke spin valt het niet met kans 36/37, dus het mist alle 37 spins met kans (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Elk nummer heeft dezelfde kans, dus gemiddeld ontbreken er 37 × 0,363 ≈ 13,4 nummers en vallen er 37 − 13,4 ≈ 23,6, veel ervan twee keer of vaker.
Roulettespelers noemen dit de wet van de derden. Het is geen wet, alleen de rekenkunde van herhalingen: in een reeks zo lang als het wiel blijft ongeveer een derde van de nummers buiten spel, op een eerlijk wiel net als op elk ander. Bij 38 vakken is het aandeel (37/38)³⁸ ≈ 0,363 ook; voor een groot wiel komt het uit rond 1/e ≈ 0,368.
Een vriend laat je twee lijsten van 50 kleuren zien, roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → of zwartinzetZwartEnkelvoudige kans op de 18 zwarte nummers. Frans: noir.Volledig lezen →, die elk van een wiel zouden komen waarbij de zero’swielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → zijn weggelaten. De ene wisselt 25 keer van kleur en de langste reeks is zes. De andere wisselt 35 keer en komt nooit boven drie. Welke is verzonnen?
Oplossing tonen
Antwoord De tweede. Een echte lijst wisselt ongeveer 24 of 25 keer. Een lijst met 35 wisselingen komt ongeveer eens op 500 lijsten voor, en een zonder reeks langer dan drie ongeveer twee keer op 100.
Elke nieuwe kleur herhaalt de vorige of wisselt, half om half, dus 49 kansen om te wisselen geven gemiddeld 24,5 wisselingen, met een marge van ongeveer 3,5. Vijfendertig ligt drie van die stappen boven het gemiddelde; een eerlijk wiel geeft zoveel wisselingen ongeveer eens op 500 lijsten.
De reeksen vertellen hetzelfde verhaal. Een echte lijst van 50 heeft in ongeveer 98% van de gevallen een reeks van vier of meer, en de langste reeks is meestal vijf of zes.
Mensen die een willekeurige lijst moeten verzinnen, wisselen te vaak, omdat een reeks van vier of vijf er voor hen uitziet als een patroon. Taylor (2021) laat hetzelfde kenmerk zien in lijsten met muntworpen die door studenten zijn verzonnen: echt toeval heeft meer reeksen dan mensen verwachten.
Een boek met casinoverhalen vertelt over een speler wiens nummer vijf keer achter elkaar viel, en noemt dat een record. Hoe zeldzaam is dat op een Europees wiel? En hoe vaak zou het ergens in één casino moeten gebeuren met 20 tafels die elk 40 keer per uur draaien, dag en nacht?
Oplossing tonen
Antwoord Een vooraf genoemd nummer vijf keer achter elkaar: 1 op 69 miljoen. Een willekeurig nummer dat na zijn eerste keer nog vier keer valt: 1 op 1,87 miljoen. Dat casino draait ongeveer 7 miljoen keer per jaar, dus het zou drie of vier keer per jaar een reeks van vijf moeten zien.
Een genoemd nummer valt bij elke spin met kans 1/37, dus vijf achter elkaar heeft kans (1/37)⁵ = 1 op 69.343.957. Maar niemand noemt het nummer vooraf. Wat er ook als eerste valt, de volgende vier spins moeten het herhalen: (1/37)⁴ = 1 op 1.874.161.
20 tafels × 40 spins × 24 uur × 365 dagen = 7.008.000 spins per jaar. Elke spin kan een reeks beginnen, dus het casino verwacht 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 reeksen van vijf per jaar.
Een officieel record van deze soort bestaat niet, en er is er ook geen nodig: een zeldzame gebeurtenis aan één tafel is iets alledaags in een heel casino, en de verhalen gaan over de tafel waar het gebeurde. Het verhaal, bij Goldman (2007), speelt zich af aan een wiel met dubbele zero, waar de cijfers 1 op 79 miljoen en 1 op 2,09 miljoen zijn.
Komische noot
Lange reeksen zijn hoe toeval eruitziet.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.