Convergentie op de lange termijn
Hoe het gemiddelde zich instelt op −2,70%, en waarom dat langer duurt dan de intuïtie suggereert.
Het gemiddelde verlies per spin convergeert naar −1/37 naarmate spins zich opstapelen, met een spreiding die krimpt als 1/√N. Na 1.000 spins op rood ligt het gemiddelde doorgaans binnen ±3% van de verwachting.
Wet van de grote aantallen
Het lopende gemiddelde van onafhankelijke inzetten streeft naar de verwachtingswaardewiskundeVerwachtingswaardeHet gemiddelde resultaat per inzet op de lange termijn. −1/37 van de inzet voor elke standaardinzet bij Europese roulette.Volledig lezen →. Na N spins op een enkelvoudige kans met één eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → heeft het gemiddelde resultaat per spin verwachting −1/37 en standaardafwijkingwiskundeStandaardafwijkingDe wortel uit de variantie; de typische afstand van een resultaat tot de verwachtingswaarde.Volledig lezen → 1/√N. Bij N = 100 is die spreiding 10% van de inzet, bijna vier keer het signaal van 2,7%. Bij N = 1.000 is ze 3,2%, ongeveer gelijk aan het signaal. Bij N = 10.000 is ze 1% en is het huisvoordeel duidelijk zichtbaar. Het huisvoordeel is onzichtbaar in een sessie en onmiskenbaar in een jaar.
Wat convergeert en wat niet
Het gemiddelde per spin convergeert. Het totaal niet: het drijft verder van nul af naarmate N groeit, gemiddeld met ongeveer 2,7% van N, met een spreiding van √N daaromheen. Verwacht wordt dat een speler die 10.000 spins van $10 heeft gespeeld $2.700 lager staat, plus of min $1.000. Het lopende aandeel roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → heeft zich allang rond 48,65% ingesteld; het lopende saldo heeft zich nergens ingesteld.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediaan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Waarom de intuïtie faalt
Mensen verwachten dat het huisvoordeel snel zichtbaar wordt omdat 2,70% veel klinkt, en verwachten dat lange reeksen zich “vereffenen” omdat de wet van de grote aantallenwiskundeWet van de grote aantallenHet gemiddelde van onafhankelijke uitkomsten convergeert naar de verwachtingswaarde naarmate het aantal pogingen groeit.Volledig lezen → zegt dat gemiddelden convergeren. Beide intuïties schatten de schaal verkeerd in: het huisvoordeel is klein ten opzichte van de variantiewiskundeVariantieEen maat voor hoe breed de resultaten rond de verwachtingswaarde gespreid liggen. Hoog voor een straight up, laag voor enkelvoudige kansen.Volledig lezen → van één spin (σ = 1 eenheid tegenover EV = 0,027), dus het duurt (1/0,027)² ≈ 1.400 spins voordat het op één sigma zichtbaar wordt. En de convergentie van het gemiddelde trekt het totaal niet terug; ze verdunt alleen eerdere schommelingen.
Convergentie bij andere inzetten
Bij straight upsinzetStraight upEén enkel nummer, betaalt 35:1 uit.Volledig lezen → is σ = 5,84, dus dezelfde berekening geeft (5,84/0,027)² ≈ 47.000 spins voordat het huisvoordeel één sigma bereikt. Een speler die straight ups inzet kan jarenlang spelen zonder dat het huisvoordeel in zijn eigen administratie te onderscheiden is van geluk, en betaalt precies dezelfde 2,70% als de speler op rood die het binnen weken ziet.
Gevolg voor het testen van systemen
Wie beweert dat een systeem werkt, moet dat kunnen aantonen over 10.000 of meer spins met een gedocumenteerd positief gemiddelde. Bij 1.000 spins is een positief gemiddelde op een enkelvoudige kans onder de nulhypothese een gebeurtenis van één op de vijf; bij 100 spins is het bijna een muntworp. De simulators op deze site draaien in een seconde 2.000 sessies van de lengte die je kiest, en dat is meer bewijs dan welke getuigenis ook.
Formule
Vragen
De kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → dat je ooit nog voorstaat, daalt naar nul naarmate je speelt. Het totaal drijft zonder grens omlaag.
Nee. Het betekent dat eerdere schommelingen een kleiner deel worden van een grotere steekproef.
Bij een enkelvoudige kans ongeveer 10.000 voordat het huisvoordeel duidelijk zichtbaar is. Bij straight ups ongeveer 50.000.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Twee vrienden spelen 20 rondes van een eerlijk spelwiskundeEerlijk spelEen spel waarin geen van beide partijen een voordeel heeft: elke inzet heeft een verwachtingswaarde van nul.Volledig lezen →, kop of munt, of roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → tegen zwartinzetZwartEnkelvoudige kans op de 18 zwarte nummers. Frans: noir.Volledig lezen → waarbij zero’swielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → worden teruggegeven, en houden een lopende stand bij. Tel de rondes waarin elk van hen voorstaat (een gelijke stand telt voor wie er net daarvoor voor stond). Wat is waarschijnlijker: dat de voorsprong 10 tegen 10 rondes wordt verdeeld, of dat één vriend alle 20 voorstaat?
Oplossing tonen
Antwoord Dat één vriend alle 20 rondes voorstaat, is veel waarschijnlijker: 35,2%, voor wie van beiden ook, tegen 6,1% voor een gelijke verdeling van 10 tegen 10.
De kans dat een eerlijke lopende stand na 2k rondes gelijk staat, is u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 na 10 rondes en 0,176 na 20. Een klassiek resultaat, de arcsinuswet, zegt dat de kans dat één bepaalde vriend precies 2k van de 2n rondes voorstaat u(2k) × u(2n − 2k) is.
Alle 20 voorstaan: u(20) × u(0) = 0,176 voor elke vriend, 35,2% voor een van beiden. Een gelijke verdeling: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, de minst waarschijnlijke verdeling van allemaal.
In een eerlijk spel wisselt de voorsprong dus zelden van hand. Een speler die de hele avond voor heeft gestaan, of de hele avond achter, heeft niets ongewoons gezien, en het zegt niets over het wiel of over vaardigheid. Epstein (2013) geeft dezelfde wet voor langere spellen: de helft van de tijd staat de gelukkigste kant meer dan 85% van het spel voor.
Komische noot
Het gemiddelde convergeert. Het totaal vertrekt gewoon.
Bronnen
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.