Vraagstuk: het verjaardagswiel
Hoeveel spins voordat een nummer zich herhaalt? Veel minder dan de meeste mensen denken.
Het verjaardagsprobleem op een wiel met 37 vakkenmateriaalVakEen van de 37 genummerde compartimenten op de rotor. Ook: nummervak, gleuf.Volledig lezen →: na slechts 8 spins is het waarschijnlijker dan niet dat een nummer al twee keer is gevallen. Spelers lezen herhalingen als patronen; ze zijn het verwachte gedrag van een eerlijk wiel.
Het vraagstuk
Draai aan een eerlijk Europees wiel. Hoeveel spins duurt het voordat de kanswiskundeKansDe kans op een uitkomst, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Eén nummer: 1/37 = 2,70%.Volledig lezen → dat minstens twee spins hetzelfde nummer hebben laten zien groter is dan een half? De meeste spelers gokken ergens rond 18 of 19, de helft van 37. Het antwoord is 8.
De oplossing
Bereken de kans op geen herhaling en trek die af van één. Na k spins is p(allemaal verschillend) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Voor k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, dus p(een herhaling) ≈ 0,56. Voor k = 14 is het 0,93; voor k = 20 is het 0,996. De intuïtie faalt omdat het aantal paren spins groeit als k², en elk paar kan overeenkomen.
Waarom het aan tafel ertoe doet
Een uitslagenbord met de laatste 20 nummers toont bijna altijd minstens één herhaling, vaak twee of drie. Spelers zien “17 viel twee keer in tien spins” en concluderen dat 17 heet is; volgens de verjaardagsrekensom komt een herhaling binnen tien spins in 74% van de gevallen voor en is het herhaalde nummer willekeurig. Het patroon is echt; de betekenis niet.
Het vervolgvraagstuk
Hoeveel spins duurt het voordat een bepaald nummer, zeg 17, twee keer is gevallen? Dat is een andere vraag met een veel groter antwoord: de verwachte wachttijd is 74 spins, en de kans op twee keer 17 binnen 20 spins is ongeveer 10%. Het verschil tussen “een nummer herhaalt zich” (8 spins) en “dit nummer herhaalt zich” (74 spins) is het hele verschil tussen een patroon dat je achteraf opmerkt en een voorspelling die je vooraf doet.
Probeer het
Speel tien spins in het Demospel en bekijk de historie. Meestal zit er een herhaling in. Speel opnieuw. Het herhaalde nummer is anders. Doe dit tien keer en je hebt het verjaardagsprobleemwiskundeVerjaardagsprobleemHoeveel mensen er nodig zijn voordat twee van hen waarschijnlijk op dezelfde dag jarig zijn, of hoeveel spins voordat een nummer waarschijnlijk terugkomt. Op een wiel met 37 vakken zijn 8 spins genoeg voor een kans van meer dan de helft.Volledig lezen → gezien; doe het duizend keer (de simulators kunnen dat) en je hebt het gemeten.
Formule
Vragen
Precies, met 37 vakken in plaats van 365 dagen. 23 mensen geven 50% bij verjaardagen; 8 spins geven 56% bij het wiel.
50% na ongeveer 19 spins. Nog steeds routine.
Nee. Duizenden spins van één wiel wel; een herhaling nooit.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Een uitslagenbord naast een Amerikaans wiel toont de laatste 16 spins. Hoe groot is de kans dat er geen enkel nummer twee keer op staat?
Oplossing tonen
Antwoord Ongeveer 2,5%: zo’n 39 van de 40 borden tonen minstens één herhaling.
Ga spin voor spin. De eerste spin mag alles zijn. De tweede moet die missen: 37 kansen op 38. De derde moet beide missen: 36 op 38. De zestiende moet vijftien nummers missen: 23 op 38.
Vermenigvuldig: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Een bord zonder herhaling is de uitzondering. Een bord met een herhaling zegt niets over het wiel.
Wat is in tien spins op een Europees wiel de kans dat 17 precies vijf keer valt? Dat een of ander nummer, welk dan ook, vijf of meer keer valt? En dat een of ander nummer in vier spins minstens drie keer valt?
Oplossing tonen
Antwoord 17 precies vijf keer: 1 op 315.576. Een of ander nummer vijf of meer keer: ongeveer 1 op 8.333. Een of ander nummer drie of meer keer in vier spins: 1 op 349.
17 vijf keer: kies welke vijf van de tien spins, 252 manieren, elk met kans (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Samen 1 op 315.576.
Een of ander nummer: elk van de 37 nummers heeft een kans van 1 op 308.325 op vijf of meer treffers, wat 37 op 308.325 geeft, of 1 op 8.333. Het zeldzame geval van twee nummers met elk vijf treffers wordt dubbel geteld, maar het eraf halen verandert bij deze precisie niets.
Drie keer in vier spins: voor één nummer 4 × 36 + 1 = 145 van de 37⁴ mogelijke uitkomsten; voor een van de 37 nummers 145/37³ = 1 op 349.
De Wizard of Odds beantwoordde deze vragen voor het wiel met dubbele zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen →; onze cijfers voor dat wiel zijn 1 op 359.275, 1 op 9.243 en 1 op 368. Het verschil tussen “17” en “een of ander nummer” is opnieuw het verjaardagsprobleemwiskundeVerjaardagsprobleemHoeveel mensen er nodig zijn voordat twee van hen waarschijnlijk op dezelfde dag jarig zijn, of hoeveel spins voordat een nummer waarschijnlijk terugkomt. Op een wiel met 37 vakken zijn 8 spins genoeg voor een kans van meer dan de helft.Volledig lezen →: er zijn 37 manieren om verrast te worden.
Komische noot
Er herhaalt zich al vroeg iets. Dat iets is willekeurig.
Bronnen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.