Fibonacci
De inzetten volgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Na een verlies één stap vooruit, na een winst twee terug.
Het verslaat het wiel niet; geen enkel inzetschema doet dat. Het is milder dan Martingale, dus het houdt langere verliesreeksen vol voordat de limiet wordt bereikt, en herstelt langzamer. Het verwachte verlies is hetzelfde: 2,70% van de totale inzetgeldTotale inzetHet totale bedrag (omzet) dat over een sessie of periode is ingezet, opnieuw ingezette winst meegeteld. Ook: handle, action.Volledig lezen →.
Hoe de rij ontstaat
Elk getal is de som van de twee ervoor.
Na 8 en 13 komt dus 21.
Teken elk getal als een vierkant en de vierkanten passen aan elkaar: elk nieuw vierkant is even lang als de twee vorige naast elkaar. Een kwartcirkel door elk vierkant, en de bogen sluiten aan tot een spiraal.
De rij doorlopen
Bij een verlies ga je één stap naar rechts. Bij een winst ga je twee stappen terug.
Inzetten en resultaten zijn uitgedrukt in eenheden van de basisinzet.
Hoe werkt het Fibonacci-systeem?
Schrijf de FibonaccistrategieFibonacciProgressie die de rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… volgt: één stap vooruit na een verlies, twee stappen terug na een winst.Volledig lezen →-getallen op: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Elk getal is de som van de twee ervoor. Begin bij het eerste en zet zoveel eenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → in. Verlies je, dan ga je één stap naar rechts. Win je, dan ga je twee stappen naar links, of terug naar het begin als er geen ruimte is. Dat is het hele systeem. De tabel laat zien wat elke stap kost: een verliesreeks die wordt afgekapt door de tafellimiettafelTafellimietDe toegestane minimum- en maximuminzet. Het maximum is wat verdubbelingsprogressies tegenhoudt.Volledig lezen → of je bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen → verliest de som van alles wat tot dan toe is ingezet.
Hoe ziet een sessie eruit?
Neem een basis van $10 en acht spins: V V W V V V W W. De inzetten zijn 10, 10, 20 (winst, twee terug, naar stap 1), 10, 10, 20, 30 (winst, twee terug, naar stap 2), 10 (winst, terug naar het begin). Verloren: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Gewonnen: 20 + 30 + 10 = 60. Vijf verliezen, drie winsten, en je staat quitte. Dat is de aantrekkingskracht van het systeem. De prijs staat op dezelfde regel: er was voor $120 aan inzetten nodig om daar te komen, en op elke ingezette dollar rust het huisvoordeelwiskundeHuisvoordeelHet deel van elke inzet dat het casino gemiddeld houdt: 2,70% bij Europese roulette.Volledig lezen →.
Waarom twee stappen terug en niet één?
Omdat één winst precies twee verliezen betaalt. Elk getal is de som van de twee ervoor, dus een winst bij 5 eenheden brengt de 2 en de 3 terug die je net daarvoor verloor. Denk aan een trap: één trede omhoog voor elk verlies, twee treden omlaag voor elke winst. De trede waarop je staat is je schuld. Op stap 5 sta je 7 eenheden achter, op stap 8 sta je er 33 achter, en terug op de eerste trede sta je precies quitte. Winst komt alleen van winsten op de eerste trede, één eenheid per keer.
Met bijna evenveel winsten als verliezen klinkt twee treden voor één als een koopje, en meestal leidt de trap ook weer naar beneden. Het addertje is dat de treden hoger worden naarmate je klimt. Tien winsten op de eerste trede leveren 10 eenheden op. Drie verliezen op stap 6, 7 en 8 kosten 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaan −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Werkt het Fibonacci-systeem?
Nee. Niet als manier om er beter uit te komen. De berekening is dezelfde als bij elk systeem: elke inzet verliest gemiddeld 1/37 van het ingezette bedrag, dus de hele reeks verliest 1/37 van alles wat is ingezet. Een beroemde reeks verandert daar niets aan, want het wiel betaalt tegen dezelfde verhouding uit, hoe groot de fichegeldFicheEen speelpenning die een vast bedrag vertegenwoordigt en die je op het tableau legt om een inzet te plaatsen. Ook: cheque.Volledig lezen → ook is. Fibonacci-inzetten lopen op, dus het zet per spin meer in dan vaste inzetstrategieVaste inzetElke spin hetzelfde bedrag inzetten (flat betting). De maatstaf waarmee elke progressie wordt vergeleken.Volledig lezen →, en het verwacht verlieswiskundeVerwacht verliesVerwachtingswaarde maal het totale ingezette bedrag; het bedrag dat je gemiddeld verliest over een sessie of een periode.Volledig lezen → per sessie is hoger. MartingalestrategieMartingaleProgressie die de inzet na elk verlies verdubbelt. Zie de sectie Strategie voor wat ze wel en niet doet.Volledig lezen → zet nog meer in, en verliest meer.
Is het veiliger dan Martingale?
Het is langzamer, en dat is niet hetzelfde. Fibonacci-inzetten groeien met ongeveer 1,6× per stap in plaats van 2×, dus een limiet van $500 wordt vanaf een basis van $10 na ongeveer tien opeenvolgende verliezen bereikt in plaats van na zes. Dat maakt de afgrond zeldzamer: tien verliezen op een enkelvoudige kans achter elkaar is (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, tegen (19/37)⁶ ≈ 1,8% voor zes. Maar de afgrond is ook hoger, omdat er onderweg meer is ingezet, en één winst maakt hem niet ongedaan.
Waar komen de getallen vandaan?
Uit een puzzel over konijnen. Leonardo van Pisa, later bijgenaamd Fibonacci, gaf hem op in zijn Liber Abaci uit 1202: begin met één paar, laat elk paar vanaf zijn tweede maand elke maand een nieuw paar voortbrengen, en tel de paren. Het antwoord loopt 1, 2, 3, 5, 8, 13. Hij was niet de eerste die de regel vond. Indiase geleerden van het versritme hadden hem eerder opgeschreven: Singh (1985) voert hem terug op Virahanka, tussen 600 en 800, en daarna op Gopala en Hemachandra.
Geen van hen dacht aan een wiel. De bronnen die hier zijn gebruikt zeggen niet wie als eerste geld inzette volgens de reeks. Wat ze wel laten zien, is dat de rekenkunde ervan en die van roulette elkaar nooit raken: de ene zegt hoe de inzetten groeien, de andere wat elke inzet teruggeeft.
Hoeveel is er verloren na een verliesreeks?
Twee identiteiten maken de tabel hierboven makkelijk te controleren. Na n verliezen op rij is het totale verlies het (n + 2)e Fibonacci-getal min 1, wat 1, 2, 4, 7, 12, 20 enzovoort geeft, en de volgende inzet is het (n + 1)e Fibonacci-getal. Bollman (2021) bewijst hetzelfde resultaat met inductie voor een rij die met 1, 2, 3 begint, wat elk getal één plaats opschuift. Bij een limiet van 500 eenheden en een start van 1 eenheid kan Martingale zijn 10e inzet, 512 eenheden, niet plaatsen. Fibonacci kan zijn 14e plaatsen, 377 eenheden, maar niet zijn 15e, 610.
Wat verandert er op een dozijn of een kolom?
Op een dozijninzetDozijn1–12, 13–24 of 25–36, betaalt 2:1 uit.Volledig lezen → of een kolominzetKolomTwaalf nummers in één verticale kolom van het tableau, betaalt 2:1 uit.Volledig lezen →, die 2 tegen 1 uitbetaalt, is de stap terug niet nodig. Een winst bij inzet F betaalt 2F, en dat is altijd meer dan alles wat ervoor verloren is, dus elke winst sluit de reeks af met winst. De prijs is dat een dozijn maar 12 keer op 37 wint, dus lange verliesreeksen komen veel vaker voor: veertien verliezen op een dozijn op rij gebeuren ongeveer eens in 242 pogingen, tegenover ongeveer eens in 11.000 voor roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen →.
En als je pas stopt na twee winsten op rij?
Een andere variant gaat na elke spin één stap vooruit, winst of verlies, en stopt pas na twee winsten op rij. Met n verliezen vóór de twee winsten is de winst het (n + 1)e Fibonacci-getal plus 1: klein als de winsten vroeg komen, groter als ze laat komen, en gewonnen op inzetten die evenredig zijn meegegroeid. Een vroeg paar winsten komt altijd bij kleine inzetten; een laat paar kan een grote inzet vragen precies op het moment dat de sessie het slechtst is verlopen.
Simulator · Fibonacci
2.000 sessies met inzetten op enkelvoudige kansen vanuit een bankroll van $1.000.
Basisinzet $10 · tafellimiet $500 · 100 spins per sessie
Hoe vaak een reeks verliezen voorkomt
Een inzet op een enkelvoudige kans verliest op een wiel met één zero 19 van de 37 spins. Elke rij geeft de kans dat een bepaalde reeks spins allemaal verliest, en wat een Fibonacci-speler, die na elk verlies één stap verder gaat in de rij, dan al verloren heeft.
| verliezen op rij | kans | ongeveer 1 op | verloren tot nu toe | volgende inzet |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1.596 | $987 |
De kans is 19/37, één keer per verlies met zichzelf vermenigvuldigd, gerekend vanaf één bepaalde spin. Een lange sessie telt veel spins waarop zo’n reeks kan beginnen, dus over een avond is ze veel waarschijnlijker dan één rij doet vermoeden.
Vragen
Ja: vooruit na een winst, terug na een verlies. Het gedraagt zich als een tragere ParolistrategieParoliPositieve progressie: verdubbelen na een winst, opnieuw beginnen na een verlies of na drie keer winst op rij. Ook: omgekeerde Martingale.Volledig lezen →.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Speel de variant die na elke spin, winst of verlies, één stap verder gaat in de rij en stopt na twee winsten op rij: inzetten 1, 1, 2, 3, 5, 8 enzovoort. De eerste veertien uitkomsten zijn W V W V V V W V V V W V V W. Hoe sta je ervoor, en wat is de volgende inzet?
Oplossing tonen
Antwoord 22 eenhedengeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → achter. De volgende inzet is 610 eenheden, en een winst zou de sessie met 588 in de plus afsluiten.
De inzetten zijn de eerste veertien getallen van FibonaccistrategieFibonacciProgressie die de rij 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… volgt: één stap vooruit na een verlies, twee stappen terug na een winst.Volledig lezen →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 en 377. Tel de winsten op en trek de verliezen af: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
De laatste uitkomst was een winst, dus nog één winst maakt er een eind aan. De volgende inzet is 610: een winst laat +588 over, een verlies −632 en een volgende inzet van 987.
De variant eindigt altijd in de plus, maar heeft hier een inzet van 610 eenheden nodig om dat te halen. Met de gebruikelijke regels, twee stappen terug na een winst, laten dezelfde veertien uitkomsten je maar 1 eenheid in de min, met een volgende inzet van 2. Bollman (2021), die de rij met 1, 2, 3 laat beginnen, komt uit op 1 in de min en een volgende inzet van 3. De gebruikelijke regels verliezen hier minder omdat elke winst de inzetten weer omlaag haalt.
spininzetresultaattussenstand11W+121V032W+243V−155V−668V−14713W−1821V−22934V−561055V−1111189W−2212144V−16613233V−39914377W−22Waarom laten in dezelfde variant n verliezen gevolgd door twee winsten altijd een winst over van het (n + 1)e getal van Fibonacci plus 1?
Oplossing tonen
Antwoord De n verliezen tellen op tot het (n + 2)e getal van Fibonacci min 1, en de twee winsten zijn de volgende twee getallen, die samen dat bedrag overtreffen met het (n + 1)e getal plus 1.
Schrijf F₁, F₂, F₃ … voor 1, 1, 2, 3, 5 … Elk getal is de som van de twee ervoor.
De verliezen: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Tel 1 bij die som op, geschreven als F₂, en ze klapt in elkaar: F₂ + F₁ = F₃, dan F₃ + F₂ = F₄, enzovoort, tot de hele som Fₙ₊₂ is. De verliezen zijn samen dus Fₙ₊₂ − 1.
De winsten zijn de volgende twee inzetten, Fₙ₊₁ en Fₙ₊₂. Winst: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Met vier verliezen is dat F₅ + 1 = 6 eenheden.
Komische noot
De gulden snede ontmoet het bord met de maximuminzet.
Bronnen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.