D’Alembert
Eén eenheid erbij na een verlies, één eraf na een winst.
Het verslaat het wiel niet. Het is de vlakste gangbare progressiestrategieProgressieElke regel die de inzet aanpast op grond van eerdere resultaten. Negatieve progressies verhogen hem na verlies, positieve na winst.Volledig lezen →: de inzetten lopen langzaam op, drawdowns zijn gematigd, en het voordeel blijft onaangetast.
Het systeem doorlopen
Bij een verlies ga je één stap omhoog. Bij een winst ga je één stap terug.
Inzetten en resultaten zijn uitgedrukt in eenheden van de basisinzet.
Hoe werkt het D’Alembert-systeem?
Zet één eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen → in. Verlies je, dan is de volgende inzet één eenheid groter. Win je, dan is hij één eenheid kleiner, maar nooit minder dan één. Dat is alles. Denk aan een wip: elk verlies kantelt de inzet een tandje omhoog en elke winst kantelt hem terug. De gedachte eronder is dat winst en verlies elkaar in evenwicht houden, zodat de inzet weer thuiskomt bij de basis. De aantrekkingskracht is dat elk paar van één winst en één verlies bij aangrenzende inzetten +1 eenheid netto oplevert: verlies 3, win 4, netto +1.
Hoe ziet een sessie eruit?
Rustig, met een inzet die omhoogkruipt. Omdat verliezen bij een enkelvoudige kans talrijker zijn dan winsten, 19 tegen 18, loopt de inzet over een lange sessie omhoog. Omdat de inzet het hoogst is wanneer je hebt verloren en lager wanneer je wint, ligt de gemiddelde inzet tijdens verliesreeksen boven die tijdens winstreeksen. Sessies verlopen vlakker dan bij MartingalestrategieMartingaleProgressie die de inzet na elk verlies verdubbelt. Zie de sectie Strategie voor wat ze wel en niet doet.Volledig lezen →, met gematigde drawdownsgeldDrawdownDe terugval van een piek in de bankroll naar een later dieptepunt binnen een sessie. De maximale drawdown is de grootste terugval van die soort.Volledig lezen → en zonder afgrond, en verliezen gemiddeld iets meer dan bij vaste inzetstrategieVaste inzetElke spin hetzelfde bedrag inzetten (flat betting). De maatstaf waarmee elke progressie wordt vergeleken.Volledig lezen →, omdat de gemiddelde inzet hoger is.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaan −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
Werkt het D’Alembert-systeem?
Nee. Een sessie in evenwicht wint, en sessies blijven niet in evenwicht. Na w winsten en l verliezen bij aangrenzende inzetten is het nettoresultaat w − l eenheden plus een correctie voor de plek in de ladder waar je stond. Als w = l, is het resultaat precies +w eenheden, wat op gegarandeerde winst lijkt. Het addertje is dat w = l niet het verwachte geval is: in 37 spins verwacht je 18 winsten en 19 verliezen. Eén extra verlies bij een inzet die is opgelopen tot, zeg, 8 eenheden kost meer dan acht van de +1-paren opleveren. De verwachting komt uit op −1/37 van de totale totale inzetgeldTotale inzetHet totale bedrag (omzet) dat over een sessie of periode is ingezet, opnieuw ingezette winst meegeteld. Ook: handle, action.Volledig lezen →, zoals het hoort.
Waarom winnen korte sessies meestal?
Het evenwichtige geval is deel van één regel die voor elke sessie geldt. Noem D het aantal verliezen min het aantal winsten. Een sessie van N spins die met één eenheid begint, eindigt op (N − D²)/2 − D eenheden, zolang geen inzet van één eenheid wint (na zo’n winst kan de inzet nergens lager heen). Met D = 0 is dat +N/2, de +w van de sectie hierboven. Elk extra verlies telt in het kwadraat: na 100 spins laat een D van 4 nog +38 eenheden over, een D van 8 laat +10 over en een D van 10 laat −10 over. Het toeval alleen spreidt D met ongeveer √N, tien na 100 spins, en in een spel zonder zerowielZeroHet ene groene vak dat door geen enkele enkelvoudige kans, dozijn- of kolominzet wordt gedekt; de bron van het huisvoordeel. Ook: enkele zero, 0.Volledig lezen → heffen de winsten van de vele evenwichtige sessies en de verliezen van de weinige scheve elkaar precies op. De zero voegt gemiddeld elke 37 spins één extra verlies toe, en omdat D in het kwadraat staat, groeien de kosten ervan sneller dan de sessie. De meeste sessies van maximaal 100 spins eindigen in de plus; het gemiddelde nooit, en na een paar honderd spins verliezen ook de meeste sessies.
En als je het omdraait?
Contra-D’Alembert, ook wel de omgekeerde D’Alembert genoemd, telt na een winst een eenheid bij de inzet op en haalt er na een verlies een af. Het is het exacte spiegelbeeld van het origineel. Zolang geen inzet van één eenheid verliest, eindigt een sessie van N spins op (D² − N)/2 + D eenheden, waarbij D nu de winsten min de verliezen is. Een evenwichtige sessie verliest een halve eenheid per spin, en alleen als de winsten ruim op de verliezen voorlopen, levert de sessie winst op. De meeste sessies verliezen dus een beetje en een paar winnen veel, het omgekeerde van het verloop van het origineel, en het gemiddelde is dezelfde 2,70% van het ingezette geld.
Wie was d’Alembert?
Jean le Rond d’Alembert, wiskundige en mederedacteur van de Encyclopédie, betoogde in een artikel uit 1754 dat na een reeks keer kop de kans op munt groter werd. Hij had ongelijk, en de drogreden die zijn naam draagt is een vorm van de gokkersdrogreden. Het inzetsysteem werd later naar hem genoemd, door gokkers die dezelfde overtuiging deelden. Hij heeft het niet ontworpen en zou het waarschijnlijk niet hebben onderschreven.
Zijn er andere varianten?
Contra-D’Alembert, hierboven, gedraagt zich als een rustige ParolistrategieParoliPositieve progressie: verdubbelen na een winst, opnieuw beginnen na een verlies of na drie keer winst op rij. Ook: omgekeerde Martingale.Volledig lezen →. Sommige spelers voegen na een verlies twee eenheden toe en trekken na een winst één af, wat de ladder steiler maakt richting Martingale. Alle versies hebben hetzelfde verwacht verlieswiskundeVerwacht verliesVerwachtingswaarde maal het totale ingezette bedrag; het bedrag dat je gemiddeld verliest over een sessie of een periode.Volledig lezen → per ingezette eenheid.
Simulator · D’Alembert
2.000 sessies met inzetten op enkelvoudige kansen vanuit een bankroll van $1.000.
Basisinzet $10 · tafellimiet $500 · 100 spins per sessie
Hoe vaak een reeks verliezen voorkomt
Een inzet op een enkelvoudige kans verliest op een wiel met één zero 19 van de 37 spins. Elke rij geeft de kans dat een bepaalde reeks spins allemaal verliest, en wat een D’Alembert-speler, die na elk verlies met één basisinzet verhoogt, dan al verloren heeft.
| verliezen op rij | kans | ongeveer 1 op | verloren tot nu toe | volgende inzet |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13,5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7,0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1,8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0,94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0,48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0,25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0,13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $120 | $16 |
De kans is 19/37, één keer per verlies met zichzelf vermenigvuldigd, gerekend vanaf één bepaalde spin. Een lange sessie telt veel spins waarop zo’n reeks kan beginnen, dus over een avond is ze veel waarschijnlijker dan één rij doet vermoeden.
Vragen
Er is geen afgrond, waardoor het de mildste negatieve progressie is. Het is niet goedkoper dan vaste inzet; het is iets duurder.
Alleen de tafellimiettafelTafellimietDe toegestane minimum- en maximuminzet. Het maximum is wat verdubbelingsprogressies tegenhoudt.Volledig lezen → of je bankrollgeldBankrollHet totale bedrag dat je voor het spelen opzij hebt gezet (je speelbudget). Bankrollbeheer is beslissen hoeveel je daarvan per inzet en per sessie op het spel zet.Volledig lezen →. Tijdens een lange verliessessie stijgt de inzet gestaag.
Rekenplezier
Probeer ze eerst zelf. Elke oplossing is ingeklapt; open hem als je er klaar voor bent.
Je speelt de D’Alembert op roodinzetRoodEnkelvoudige kans op de 18 rode nummers. Frans: rouge.Volledig lezen → gedurende 50 spins, beginnend bij één eenheidgeldEenheidDe basisinzet waarin een systeem of een speler rekent. Progressies worden in eenheden beschreven, zodat ze aan elke tafel toepasbaar zijn.Volledig lezen →, en wint nooit een inzet van één eenheid (na zo’n winst zou de inzet nergens lager heen kunnen). Je eindigt met 27 verliezen en 23 winsten. Hoeveel eenheden sta je in de plus of in de min? En met 29 verliezen en 21 winsten?
Oplossing tonen
Antwoord +13 eenheden met 27 verliezen, −15 eenheden met 29. Twee spins van de vijftig die de andere kant op vallen, kosten 28 eenheden.
Noem D de verliezen min de winsten. Het resultaat is (N − D²)/2 − D voor N spins. Met 27 verliezen en 23 winsten is D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13. Met 29 en 21 is D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15.
Waarom de regel klopt: de inzet is altijd één eenheid plus de verliezen tot dan toe min de winsten tot dan toe. Elk verlies dat door een latere winst wordt opgeheven, vormt een paar, s verliezen en daarna s + 1 winnen, dat netto +1 eenheid oplevert, zoals de tabel hierboven laat zien. Uit N spins ontstaan (N − D)/2 zulke paren, samen +(N − D)/2 waard. De D verliezen die overblijven, vielen bij inzetten van 1, 2 … D op weg omhoog en werden nooit opgeheven; ze kosten 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2. Samen: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D.
Het kwadraat is het hele verhaal. Een evenwichtige sessie levert een halve eenheid per spin op, en elke stap weg van het evenwicht kost meer dan de vorige.
Je speelt de omgekeerde D’Alembert op rood gedurende 100 spins, beginnend bij één eenheid, en geen inzet van één eenheid verliest ooit. Je eindigt met 52 winsten en 48 verliezen. Waar sta je? En met 60 winsten en 40 verliezen?
Oplossing tonen
Antwoord −38 eenheden met 52 winsten, +170 met 60. Een kleine voorsprong in winsten verliest nog steeds; alleen een grote betaalt zich uit.
Noem D de winsten min de verliezen. Het resultaat is (D² − N)/2 + D voor N spins.
52 winsten en 48 verliezen: D = 4, dus (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38.
60 winsten en 40 verliezen: D = 20, dus (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170.
Waarom: elke winst die door een later verlies wordt opgeheven, vormt een paar, winnen bij s en daarna verliezen bij s + 1, dat netto −1 oplevert. De D winsten die overblijven, werden behaald bij inzetten van 1, 2 … D op weg omhoog en worden nooit opgeheven; ze leveren D(D + 1)/2 op. Uit N spins ontstaan (N − D)/2 paren, dus het totaal is D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D.
Het is de regel van de gewone D’Alembert met de tekens omgedraaid: daar levert evenwicht een halve eenheid per spin op en wordt onevenwicht bestraft; hier kost evenwicht een halve eenheid per spin en wordt onevenwicht beloond.
Komische noot
Genoemd naar een wiskundige die het muntje verkeerd had.
Bronnen
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.